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Problemi di massimo e minimo - Esercizi 1

1. Calcolare i punti di massimo, minimo o sella per la funzione f(x,y) = ln(1+x²y²).
2. Calcolare i punti di massimo, minimo o sella per la funzione f(x,y) = xcosy.
3. Calcolare i punti di massimo, minimo o sella per la funzione f(x,y) = x⁴+x²y+y²+3.
4. Calcolare i punti di massimo o minimo per la funzione f(x,y) = x³-6xy+3y²+3x.
5. Calcolare i punti di massimo, minimo o sella per la funzione f(x,y) = x⁴-y⁴.
6. Calcolare la distanza tra le due rette sghembe r: (x+y = 0, 2x-z = 0) ed s: (2x-y = 1, x+z = 0).
7. Calcolare i punti di massimo o minimo per la funzione f(x,y) = x⁴+y⁴-2(x²+y²)+4xy.
8. Si consideri la funzione f(x,y) = (x²-y)(3x²-y). Si provi che la restrizione della funzione a una generica retta per l'origine ammette minimo, mentre la funzione non ha minimo nell'origine.
9. Sia f una funzione a valori reali continua con le sue derivate parziali su tutto R². Si consideri la sua restrizione alla regione (x+2)²+¼y² ≤ 1. Supposto di sapere che ∂f/∂x = 0 e ∂f/∂y < 0 ovunque, si dica dove la funzione assume minimo e massimo assoluti.
10. Si consideri la funzione f(x,y) = x+y. Si supponga di sapere che essa ammette un unico punto di massimo sotto la condizione x³+y³-2xy=0. Si determini il valore del massimo. Supposto poi di conoscere le caratteristiche della "curva vincolo", dimostrare che la funzione non ha minimo assoluto sotto la condizione posta.
11. Sia k>0 un numero reale. Si trovi il minimo assoluto di .
12. Data la funzione f(x,y) = x²+xy+y²+2x+3y, ricercarne gli estremi relativi, senza l'uso delle derivate seconde.
13. Calcolare i punti di massimo e minimo relativo per la funzione f(x,y) = x²y³(6-2x-3y).
14. Trovare il massimo e minimo assoluto della funzione f(x,y,z) = x, con le condizioni x²+y²+z²=5/2 e y+z=1.
15. Utilizzando il metodo di Lagrange trovare il triangolo di area massima, tra tutti quelli di perimetro assegnato.
16. Calcolare i massimi e minimi relativi di f(x,y) = x-y, con la condizione x²-y³=0.

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pagina pubblicata il 29/04/2004 - ultimo aggiornamento il 07/05/2004