Problemi di massimo e minimo
Con lo scopo principale di fissare le notazioni riportiamo qui i risultati principali relativi al problema della ricerca dei massimi e minimi per le funzioni di più variabili.
La definizione di massimo e minimo relativo (o assoluto) per una funzione di più variabili si dà in modo ovvio. Per queste funzioni si possono presentare anche situazioni più complesse di quelle viste per le funzioni di una variabile. In particolare si definisce punto di sella un punto x0 per cui passano due rette lungo una delle quali la funzione ha massimo, mentre lungo l'altra ha minimo.
Massimi e minimi liberi
- Se una funzione f, definita in un aperto, è differenziabile in un punto x0, condizione necessaria perché il punto sia un estremante è che il gradiente di f sia nullo, ovvero che siano nulle tutte le derivate parziali. Ogni punto dove il gradiente è nullo è detto critico per una funzione.
- Supposto che la funzione sia due volte differenziabile, si considera la forma quadratica (detta Hessiana) i cui coefficienti sono le derivate seconde di f. Allora:
- Condizioni necessarie
- Se x0 è di minimo relativo la forma è semidefinita positiva.
- Se x0 è di massimo relativo la forma è semidefinita negativa.
- Condizioni sufficienti
- Il punto x0 è di minimo relativo se la forma quadratica è definita positiva.
- Il punto x0 è di massimo relativo se la forma quadratica è definita negativa.
- Il punto x0 è di sella se la forma quadratica è indefinita.
- Condizioni necessarie
e detti 
, 
, ..., i suoi minori principali,
- la forma è definita positiva se e solo se tutti i minori principali sono positivi;
- la forma è definita negativa se e solo se i minori dispari sono negativi, mentre quelli pari sono positivi.
Il caso n = 2
Nel caso delle funzioni di due variabili, particolarmente importante, si dimostra che la forma quadratica di matrice 
è
- definita positiva se e solo se a11 > 0 e detM > 0 (è la condizione sufficiente per l'esistenza di un minimo relativo);
- definita negativa se e solo se a11 < 0 e detM > 0 (è la condizione sufficiente per l'esistenza di un massimo relativo);
- indefinita se e solo se detM < 0 (è la condizione sufficiente per l'esistenza di un punto di sella);
- semidefinita positiva se detM = 0, con a11 > 0 oppure a22 > 0 (è condizione necessaria, ma non sufficiente, per l'esistenza di un minimo relativo; poco usata nelle applicazioni);
- semidefinita positiva se detM = 0, con a11 < 0 oppure a22 < 0 (è condizione necessaria, ma non sufficiente, per l'esistenza di un massimo relativo; poco usata nelle applicazioni).
Massimi e minimi vincolati
Data una funzione f: E
Rn → R, un sottoinsieme proprio e non vuoto Γ di
E si dice un vincolo per f. Un punto x0 è di estremo relativo vincolato o condizionato per f, se è un estremo per la restrizione di f a
Γ.
Ci interesseranno in maniera esclusiva i casi con n= 2 e n = 3. In questo caso i vincoli più comuni sono:
- n=2. Γ è una curva data in equazione cartesiana: Γ={(x,y)
E | g(x,y)=0}. - n=3. Γ è una superficie data in equazione cartesiana: Γ={(x,y,z)E | g(x,y,z)=0}.
- n=3. Γ è una curva data come intersezione di due superfici dello spazio: Γ={(x,y,z)E | g(x,y,z)=0
h(x,y,z)=0}.
Nei primi due casi si parla di estremi vincolati con un vincolo, nel terzo con due vincoli. Naturalmente le equazioni considerate nei vincoli definiranno effettivamente delle curve o delle superfici solo sotto opportune ipotesi di regolarità, che noi riterremo sempre verificate.
La ricerca dei massimi e minimi vincolati si può fare con i metodi visti per i massimi e minimi liberi se i vincoli sono "esplicitabili". Più precisamente:
- Se da g(x,y)=0 si può ricavare y=k(x), si può poi considerare la funzione composta f(x,k(x)), riducendosi a studiare massimi e minimi in una variabile. Analogo discorso se la curva g(x,y)=0 può essere rappresentata con equazioni parametriche (x(t),y(t)): basterà studiare gli estremi della funzione composta f(x(t),y(t)), che è in una sola variabile.
- Se da g(x,y,z)=0 si può ricavare z=m(x,y), si può poi considerare la funzione composta f(x,y,m(x,y)), riducendosi a studiare massimi e minimi liberi in due variabili. Analogo discorso se la superficie g(x,y,z)=0 può essere rappresentata con equazioni parametriche (x(t,u),y(t,u),z(t,u)): basterà studiare gli estremi della funzione composta f(x(t,u),y(t,u),z(t,u)), che è in due variabili.
- Se la curva g(x,y,z)=0h(x,y,z)=0 si può scrivere in equazioni parametriche
(x(t),y(t),z(t)), basterà considerare la funzione composta f(x(t),y(t),z(t)), che è in una sola variabile.
Negli altri casi si usa il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, valido sotto opportune ipotesi di regolarità e che, comunque, esprime solo una condizione necessaria per l'esistenza di massimi e minimi vincolati. L'enunciato del metodo si può sintetizzare come segue.
Si supponga che sia la funzione f che i vincoli g, h siano di classe C1 su un aperto A. Sia poi x0 un punto appartenente ai vincoli e si supponga che, nel caso di un
solo vincolo, 
g(x0)≠0, nel caso di due vincoli, la matrice 
abbia, nel punto x0, rango 2. Si consideri poi la funzione L = f+λg+μh, a volte detta funzione Lagrangiana. Se il punto
x0 è di estremo relativo, allora tutte le derivate della funzione L (rispetto a x, y, z, λ, μ) sono nulle.
In dettaglio, i punti di estremo relativo vanno ricercati fra le soluzioni dei sistemi:
- Caso di un vincolo in due variabili:
- Caso di un vincolo in tre variabili:
- Caso di due vincoli in tre variabili:
In pratica di solito il vincolo è un insieme chiuso e limitato e le ipotesi di regolarità per f garantiscono l'esistenza di un punto di massimo assoluto e di un punto di minimo assoluto. Essi vanno ricercati tra i punti che
soddisfano i sistemi sopra considerati e tra quelli dove il gradiente di g è zero, oppure dove la matrice ha rango minore di due.