Matematica - Esercizi di "Analisi due" (Parte prima)
Proponiamo in queste pagine una raccolta di esercizi, sulle funzioni di Rn in Rm, con alcuni richiami di teoria aventi sia lo scopo di chiarire le notazioni utilizzate, sia quello di facilitare la comprensione di alcuni concetti tipici. Di norma in questi richiami teorici abbiamo omesso le dimostrazioni dei risultati via via presentati. Alcuni esercizi sono completi di soluzione, altri hanno un suggerimento per avviare la soluzione, altri infine sono solo proposti. Faremo un uso molto ampio di programmi di computer grafica, in particolare Mathematica, Cabri Geogebra. Molte immagini proposte sono dinamiche e per la loro corretta visualizzazione è indispensabile un browser che supporti la tecnologia JavaVM.
Le seguenti pagine forniscono informazioni per la corretta visualizzazione delle figure dinamiche.
- Come scaricare la Java Virtual Machine.
- Istruzioni per l'uso di immagini dinamiche create con Mathematica.
- Istruzioni per l'uso di immagini dinamiche create con CabriJava.
- Istruzioni per l'uso di immagini dinamiche create con Geogebra
Indice degli argomenti
- Alcuni interessanti grafici di superfici
- Introduzione intuitiva ai limiti e alla continuità per funzioni di due variabili
- Introduzione intuitiva alla derivabilità per funzioni di due variabili
- Problemi di massimo e minimo
- Integrali doppi e tripli
Notazioni utilizzate
-
Utilizzeremo le notazioni "tradizionali" per i
punti di R2 o R3: (x,y) e
(x,y,z), anziché le notazioni in colonna
, tutte le volte che ciò non
provocherà confusioni. I vettori saranno indicati o
utilizzando il grassetto (v) o con la
tradizionale scrittura mediante la freccia (
).
-
Ometteremo l'indicazione "
R2" o "
R3", tutte le volte che ciò non
provocherà confusioni.
Per le derivate parziali utilizzeremo indifferentemente le
notazioni ∂f/∂x,
∂f/∂y,
∂f/∂z,
∂f/∂v, oppure
fx, fy,
fz, fv, e analoghe per
le derivate successive. Per il gradiente useremo il simbolo 
: f =( fx,
fy, fz).
- Per il prodotto scalare tra due vettori v e w useremo una delle notazioni seguenti: <v , w>, oppure v · w.