Introduzione intuitiva alla derivabilità per funzioni di due variabili
Scopo di queste pagine è di visualizzare, utilizzando esclusivamente considerazioni grafiche, alcune caratteristiche delle funzioni di due variabili, con particolare riguardo alle questioni legate alla derivabilità e differenziabilità. Naturalmente le idee qui esposte non sono sostitutive della teoria generale, e sono pensate solo per facilitare la comprensione dei problemi connessi all'estensione a più dimensioni delle tecniche dell'analisi.
Una cosa sorprendente per chi inizia a studiare le funzioni di due variabili è il fatto che l'esistenza delle derivate parziali è poco utile ai fini di una valutazione sulla "regolarità" di una funzione. Per capire il problema è opportuno avere una chiara idea, anche grafica, di che cosa si intenda con derivata parziale e, in generale, con derivata direzionale in un punto.
Consideriamo la funzione 
.
Si tratta di una funzione elementare il cui dominio coincide con R2 e che quindi non presenta alcun problema per quanto riguarda la regolarità. Il grafico è tracciato qui di seguito, unitamente ad alcune curve di livello che rendono più chiaro l'andamento della superficie.
Vogliamo visualizzare graficamente il significato delle derivate parziali ∂f/∂x e ∂f/∂y, in un punto (x0, y0) del dominio. Per fare questo consideriamo le sezioni della superficie rispettivamente con i piani verticali paralleli ai piani xz e yz e passanti per (x0, y0). In sostanza fissiamo una delle due variabili al valore che assume nel punto scelto e facciamo variare solo l'altra variabile. Scegliamo per semplicità di calcoli il punto (0,0). Nelle figure qui sotto sono rappresentate le sezioni di questa superficie con i piani detti, la prima parzialmente ruotata in modo da rendere più visibile la sezione.
Le derivate parziali ∂f/∂x e ∂f/∂y rappresentano i coefficienti angolari delle rette tangenti ai grafici di queste due curve, nel punto indicato sulla superficie. Nelle due figure qui sotto sono rappresentate queste rette tangenti.
Le due rette tangenti individuano univocamente, per una funzione regolare come questa, il piano tangente alla superficie nel punto scelto. Risulta comunque chiaro, da questa trattazione grafica, che le due derivate parziali forniscono informazioni solo ed esclusivamente sulla regolarità delle curve ottenute come sopra descritto, mentre non danno alcun tipo di informazione sulla regolarità complessiva della superficie (nel punto scelto). Per valutare il grado di regolarità della superficie nel punto scelto occorre essere certi che la superficie ammette piano tangente (cioè che è differenziabile): perché questo succeda l'esistenza delle derivate parziali è condizione solo necessaria ma non sufficiente, come vedremo su alcuni esempi. Una condizione sufficiente per l'esistenza del piano tangente è il fatto che le derivate parziali siano continue in tutto un intorno (bidimensionale!) del punto (x0, y0).
Lo stesso tipo di interpretazione grafica data per le derivate
parziali vale per la derivata lungo una qualunque direzione,
orientata, passante per un punto (x0,
y0). Naturalmente nemmeno la semplice
derivabilità lungo una direzione qualunque può
garantire l'esistenza del piano tangente, anzi non
può nemmeno garantire la continuità, come si
può vedere dall'esempio della funzione 
, di cui proponiamo la trattazione dettagliata.