Problemi di massimo e minimo - Soluzione 1.9
Sia f una funzione, a valori reali, continua con le sue derivate parziali su tutto R2. Si consideri la sua restrizione alla regione x2+¼(y+2)2 ≤ 1. Supposto di sapere che ∂f/∂x = 0 e ∂f/∂y < 0 ovunque, si dica dove la funzione assume minimo e massimo assoluti.
La regione in questione è un'ellisse, di centro (0,-2) e semiassi 1 e 2. Il massimo e minimo assoluti esistono sicuramente per la regolarità della funzione e la compattezza del dominio. Poiché le derivata parziale rispetto a x è nulla, ne segue che su ogni restrizione ad una retta parallela all'asse delle ascisse la funzione è costante e assumerà gli stessi valori che assume sull'asse y. Si potrà allora considerare la restrizione della funzione a quest'asse. Questa restrizione, come funzione della sola y, è decrescente perché ∂f/∂y < 0. Dunque il minimo della funzione si raggiungerà in (0,0) e il massimo in (0,-4). Si veda il grafico qui sotto.
Un esempio di funzione del tipo considerato in questo esercizio è: f(x,y) = arccos(y/4), il cui grafico, nella regione indicata, è rappresentato qui sotto, con alcune linee di sezione con piani paralleli al piano yz.
