Problemi di massimo e minimo - Soluzione 1.10
Si consideri la funzione f(x,y) = x+y. Si supponga di sapere che essa ammette un unico punto di massimo sotto la condizione g(x,y)=x3+y3-2 xy=0. Si determini il valore del massimo. Supposto poi di conoscere le caratteristiche della "curva vincolo", dimostrare che la funzione non ha minimo assoluto sotto la condizione posta.
Applichiamo il metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
Considerato che non esistono problemi di regolarità per
le funzioni f e g, determiniamo
preventivamente eventuali punti ove 
g=0. Si deve risolvere il sistema 
. Si trova facilmente che l'unica soluzione è
(0,0).
Consideriamo poi il sistema 
, ovvero 
. Si trova facilmente che l'unica soluzione
è x=1, y=1, λ=-1. I punti di
massimo possono allora essere solo (0,0) e (1,1) Per
sostituzione diretta, e tenendo conto delle ipotesi, si trova
che (1,1) è il punto di massimo, mentre nulla si
può affermare relativamente al minimo, con questa
tecnica. Il massimo cercato vale f(1,1)=2.
La curva vincolo è un particolare Folium di Cartesio, rappresentato qui sotto.
L'esame delle caratteristiche della curva e della funzione da massimizzare rende evidente che conviene utilizzare il metodo delle curve di livello per studiare i massimi e minimi vincolati.
Considerato che le curve di livello sono le rette x+y=k, si conclude facilmente che il massimo assoluto sul vincolo è raggiunto nel punto di tangenza tra la retta x+y=2 e la curva, cioè nel punto (1,1), mentre non esiste un minimo assoluto, ma solo un estremo inferiore di valore -2/3.
Il risultato sul massimo assoluto conferma quanto trovato con il metodo di Lagrange. Si noti però che il metodo non avrebbe potuto portare ad alcuna conclusione se non si avesse avuto la certezza dell'esistenza del massimo assoluto: il vincolo infatti non è un insieme limitato.
E' anche istruttivo esaminare il grafico della funzione g(x,y) e la sua sezione con il piano z=0, che dà origine alla curva vincolo considerata nel problema. Le immagini sono proposte qui sotto.
