Problemi di massimo e minimo - Soluzione 1.16
Calcolare i massimi e minimi relativi di f(x,y) = x-y, con la condizione x2-y3=0.
Il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, con le condizioni del
primo ordine che abitualmente si considerano, non consente di
individuare facilmente estremi relativi. Il vincolo è
comunque una curva del piano xy, facilmente
rappresentabile (
). Le curve di
livello della funzione data sono le rette parallele alla
bisettrice del primo e terzo quadrante. Il grafico qui sotto
mostra facilmente che si raggiunge un massimo relativo vincolato
nell'origine e un minimo relativo vincolato in
corrispondenza alla curva di livello tangente in A al vincolo
(si tenga presente che le curve di livello sono x-y=k e
che quindi la curva passante per A è ad un livello
più basso di quella passante per l'origine). Il punto
di tangenza A può essere facilmente ricavato
dalla condizione che la retta y=x-k sia tangente alla
curva . Si trova
A=((2/3)3,(2/3)2).
Il problema poteva anche essere risolto considerando la
funzione, di una variabile, 
.
Si osservi che, se si fosse applicato il metodo di Lagrange, si sarebbe dovuto tenere conto del fatto che il gradiente di h(x,y)=x2-y3 era nullo nell'origine. Si noti anche che la soluzione proposta rende evidente che la funzione non ha, sul vincolo dato, massimo o minimo assoluto.