Problemi di massimo e minimo - Soluzione 1.8
Si consideri la funzione f(x,y) = (x2-y)(3x2-y). Si provi che la restrizione della funzione a una generica retta per l'origine ammette minimo, mentre la funzione non ha minimo nell'origine.
Consideriamo la restrizione della funzione alla retta y=mx. Si ottiene: f(x,mx) = 3x4-4mx3+m2 x2. Calcolando la derivata si verifica immediatamente che c'è un minimo in 0, per tutti i valori di m. Rimane da considerare la restrizione all'asse delle y, dove la funzione vale f(0,y) = y2, che ha dunque un minimo in 0.
Consideriamo ora la funzione su tutto il suo dominio. Si tratta di una funzione elementare su tutto R2, pertanto non presenta problemi di regolarità.
Il gradiente e la matrice Hessiana sono dati da: 
f(x,y) =
(12x3-8xy,
-4x2+2y) e 
.
L'unico punto critico è l'origine dove
l'Hessiano vale 0. Poiché nell'origine la
funzione è nulla, potremo valutare la natura del punto
critico determinandone il segno, in un intorno opportuno
dell'origine. Ora la restrizione della funzione
sull'asse delle y vale y2,
quindi è positiva, mentre la restrizione sulla parabola
y=2x2 è negativa: la
funzione non può avere minimo o massimo sull'origine.
Le figure qui sotto mostrano, a sinistra, la funzione con alcune curve di livello (in rosso quelle a quota 0), e, a destra, la curva sezione della superficie con un piano verticale passante per l'origine.
Si noti che, in base alla definizione standard, la funzione non ha nell'origine un punto di sella: per questo è di norma richiesto che esistano due rette passanti per il punto lungo una delle quali la funzione ha minimo, mentre lungo l'altra ha massimo.