Problemi di massimo e minimo - Soluzione 1.6
Calcolare la distanza tra le due rette sghembe r: (x+y = 0, 2x-z = 0) ed s: (2x-y = 1, x+z = 0).
Si tratta di prendere un punto A sulla prima retta ed un punto B sulla seconda e di trovare il minimo della distanza AB.
Conviene scrivere le rette in forma parametrica. Si ha r: (t, -t, 2t), s: (u, 2u-1, -u). Possiamo trovare direttamente il minimo di AB2. Si ha AB2 = 6t2+6u2+6ut-2 t-4u+1. Calcolando il gradiente e uguagliandolo a zero si ottiene come unica soluzione t = 0, s = ⅓. A questi valori corrispondono i punti (0,0,0) sulla prima retta e (⅓, -⅓, -⅓) sulla seconda. La distanza tra questi due punti è dunque √(⅓).
E' anche facile trovare l'equazione della retta passante per questi due punti e verificare che è perpendicolare ad entrambe le rette date. L'equazione è: (⅓t, -⅓t, -⅓t).
Nel grafico qui sotto si possono vedere le due rette date e la perpendicolare comune. Si può anche vedere una immagine dinamica da cui si può controllare anche visivamente la perpendicolarità tra la retta trovate e le due rette date.
