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Matematica per l'eccellenza: esercizi 1

1. Sia \(p(x)\) un polinomio a coefficienti interi e \(a\neq b\) due interi tali che \(p(a)=b\) e \(p(b)=a\). Provare che esiste al più un intero \(c\) tale che \(p(c)=c\).
2. Trovare un polinomio \(p(x)\), a coefficienti interi, che sia divisibile per \(x^2+1\) e tale che \(p(x)+1\) sia divisibile per \(x^3+x^2+1\).
3. Sia \(p(x)\) un polinomio a coefficienti interi tale che \(p(a_i)=5\) per quattro valori interi distinti \(a_1,\,a_2,\,a_3,\,a_4\). Provare che per nessun intero \(n\) può essere \(p(n)=16\).
4. Trovare gli interi \(a,\,b,\,c,\,d,\,e\) tali che \[(x^2+ax+b)(x^3+cx^2+dx+e)=x^5-9x-27\,.\] Soluzione:
5. Trovare, lavorando nell'insieme dei numeri reali, le soluzioni di \[\frac{36}{\sqrt{x}}+\frac{9}{\sqrt{y}}=42-9\sqrt{x}-\sqrt{y}\,.\] Soluzione:
6. Trovare tutte le soluzioni intere di \[(3x^2+y^2-4y-17)^3-(2x^2+2y^2-4y-6)^3=(x^2-y^2-11)^3\,.\] Soluzione:
7. Trovare tutte le soluzioni intere positive di \[x^y=y^x\,.\] Soluzione:
8. Trovare tutte le soluzioni intere positive di \[\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{10}\,.\] Soluzione:
9. Data una sfera di legno, una riga non graduata, un compasso (adatto solo a costruire cerchi e a riportare misure), e un foglio di carta, costruire sul foglio di carta un segmento congruente al raggio della sfera.
   
   

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pagina pubblicata il 01/03/2010 - ultimo aggiornamento il 24/03/2010