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Proprietà dei coefficienti binomiali

I numeri img godono di alcune interessanti proprietà che qui vogliamo provare, anche come esempio di calcoli tipici con questi coefficienti.

punto elenco img. Si tratta di una proprietà che discende immediatamente dalla formula del binomio di Newton. Infatti il primo membro rappresenta il coefficiente di akbn-k, ovvero il numero di volte che si deve scegliere a tra gli n fattori del prodotto; è naturale che questo stesso numero deve essere uguale al numero di volte che si deve scegliere b tra gli stessi fattori, che è il secondo membro. Si può comunque anche fare una dimostrazione diretta. Si ha infatti:

img.

punto elenco img. Basta applicare la formula del binomio di Newton con a=b=1. Questa formula ha un importante applicazione. Dato infatti un insieme E di n elementi, il primo degli addendi a secondo membro indica quanti sono i sottoinsiemi con zero elementi (1 naturalmente, l'insieme vuoto!), il secondo addendo indica quanti sono i sottoinsiemi con un elemento, ecc. 2n è dunque il numero dei sottoinsiemi di un insieme con n elementi. Si veda una dimostrazione alternativa, basata sulle disposizioni, dello stesso fatto.

punto elenco img. Anche qui basta applicare la formula del binomio di Newton con a=1 e b=-1.

punto elenco Considerato un insieme E di n elementi, fissiamo un suo elemento, diciamolo a, e contiamo i sottoinsiemi di k elementi separando, nel conteggio, quelli che contengono a da quelli che non lo contengono. I primi sono Cn-1,k-1, in quanto basta scegliere k-1 elementi tra gli n-1 diversi da a e poi aggiungere a. I secondi sono, ovviamente Cn-1,k. Se ne deduce che img. Questo risultato, noto come Formula di Stifel (Michael Stifel, 1487-1567, Arithmetica Integra), si poteva trarre anche per calcolo diretto:

 img.

E' questa la formula che sta alla base della costruzione del triangolo di Tartaglia. Basta scrivere una generica riga del triangolo e quella che la precede:

img

punto elenco Consideriamo ora due insiemi A e B, disgiunti e di cardinalità, rispettivamente, n ed m. Se S è la loro unione, Cn+m,k rappresenta il numero dei suoi sottoinsiemi di k elementi. Questi sottoinsiemi si costruiscono prendendo r elementi da A e i restanti k-r da B, con r = 1,2,3,...,k. La scelta di r elementi da A si può fare in Cn,r modi, mentre la scelta di  k-r elementi da B si può fare in Cm,k-r modi; in totale la scelta anzidetta si potrà dunque fare in Cn,r·Cm,k-r modi. Per avere il numero totale di sottoinsiemi basterà sommare questi numeri per tutti i valori di r. Si ottiene la seguente formula, detta Formula di convoluzione di Vandermonde (Alexandre Theophile Vandermonde, 1735-1796):

img, k ≤ min(n,m).

punto elenco Una applicazione importante di questa formula si ottiene ponendo n=m=k e tenendo conto che img:

img.

punto elenco Per ragioni di opportunità, in molte circostanze, è utile estendere la definizione di img anche al caso che n sia un numero reale qualunque. Precisamente si pone: img. Si noti che, se n è un naturale minore di k, si ha img, e inoltre che img.

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pagina pubblicata il 07/05/2004 - ultimo aggiornamento il 30/08/2004