Proprietà dei coefficienti binomiali
I numeri
godono di alcune interessanti proprietà
che qui vogliamo provare, anche come esempio di calcoli tipici con questi coefficienti.
. Si tratta di una proprietà che discende immediatamente dalla formula del binomio di
Newton. Infatti il primo membro rappresenta il coefficiente di akbn-k, ovvero il numero di
volte che si deve scegliere a tra gli n fattori del prodotto; è naturale che questo stesso numero
deve essere uguale al numero di volte che si deve scegliere b tra gli stessi fattori, che è il secondo
membro. Si può comunque anche fare una dimostrazione diretta. Si ha infatti:
.
. Basta applicare la formula del binomio di Newton con
a=b=1. Questa formula ha un
importante applicazione. Dato infatti un insieme E di n elementi, il primo degli addendi a secondo membro
indica quanti sono i sottoinsiemi con zero elementi (1 naturalmente, l'insieme vuoto!), il secondo addendo indica
quanti sono i sottoinsiemi con un elemento, ecc. 2n è dunque il numero dei sottoinsiemi di un
insieme con n elementi. Si veda una dimostrazione alternativa,
basata sulle disposizioni, dello stesso fatto.
. Anche qui basta applicare la formula del binomio di Newton con
a=1 e b=-1.
Considerato un insieme
E di n
elementi, fissiamo un suo elemento, diciamolo a, e contiamo i sottoinsiemi di
k elementi separando, nel
conteggio, quelli che contengono a da quelli che non lo contengono. I primi sono
Cn-1,k-1, in quanto basta scegliere k-1 elementi tra gli
n-1 diversi
da a e poi aggiungere a. I secondi sono, ovviamente Cn-1,k. Se ne
deduce che
. Questo risultato, noto come
Formula di
Stifel (Michael Stifel, 1487-1567, Arithmetica Integra), si poteva trarre anche per calcolo diretto:
.
E' questa la formula che sta alla base della costruzione del triangolo di Tartaglia. Basta scrivere una generica riga del triangolo e quella che la precede:
Consideriamo ora due insiemi
A e
B, disgiunti e di cardinalità, rispettivamente, n ed
m. Se S è la loro
unione, Cn+m,k rappresenta il numero dei suoi sottoinsiemi di
k elementi. Questi sottoinsiemi
si costruiscono prendendo r elementi da A e i restanti k-r da
B, con r =
1,2,3,...,k. La scelta di r elementi da A si può fare in
Cn,r modi,
mentre la scelta di k-r elementi da B si può fare in
Cm,k-r modi; in
totale la scelta anzidetta si potrà dunque fare in Cn,r·Cm,k-r modi.
Per avere il numero totale di sottoinsiemi basterà sommare questi numeri per tutti i valori di
r. Si
ottiene la seguente formula, detta Formula di convoluzione di Vandermonde (Alexandre Theophile Vandermonde,
1735-1796):
,
k ≤ min(n,m).
Una applicazione importante di questa
formula si ottiene ponendo n=m=k e tenendo conto che
:
.
Per ragioni di opportunità, in molte
circostanze, è utile estendere la definizione di
anche al caso che n sia un numero reale qualunque. Precisamente si pone:
. Si noti che, se n è un naturale minore di
k, si ha 
, e inoltre che
.