La potenza del binomio

Si vuole calcolare (a+b)ⁿ. Il metodo studiato abitualmente nei primi anni di scuola superiore si basa sulla costruzione del cosiddetto Triangolo di Tartaglia o di Pascal. Il sistema è efficiente per piccoli valori di n, ma diventa pesante per grandi valori, perché richiede la costruzione di tutte le righe precedenti l'ennesima, prima di costruire l'ennesima. La formula che qui proporremo consente di superare questo ostacolo ed ha anche altri usi importanti.

Consideriamo dunque la potenza (a+b)ⁿ, dove a e b sono reali e n è naturale. Per calcolare lo sviluppo si deve eseguire il prodotto: (a+b)ⁿ = (a+b)·(a+b)·...·(a+b) (n volte). E' ovvio che il risultato sarà costituito dalla somma di tanti monomi del tipo a^kb^n-k, con k compreso tra 0 ed n, con opportuni coefficienti, per determinare i quali si tratta di contare quante volte compare ciascuno di questi monomi. Il calcolo è facile se si tiene conto che basterà scegliere k volte il fattore a tra gli n fattori, e di conseguenza n-k volte il fattore b nei rimanenti. Il numero cercato è allora (visto che l'ordine non conta!) .Otteniamo la formula:

Questa formula spiega perché il numero si chiama coefficiente binomiale. La formula è nota con il nome di Formula del binomio di Newton.

Esempio