Si possono scomporre tutti gli addendi del primo membro, tranne il primo e l'ultimo, usando la formula citata:

.

Si vede facilmente che gli addendi si elidono a coppie.

Si ha: .

Il primo membro della formula rappresenta i sottoinsiemi di cardinalità due. Se immaginiamo di dividere l'insieme in due parti, una di cardinalità k e l'altra n-k, per costruire i sottoinsiemi di cardinalità due si dovranno contare quelli della prima parte, quelli della seconda parte e, infine, quelli costruiti prendendo un elemento dalla prima parte e uno dalla seconda: sono i tre addendi del secondo membro.

Sfruttiamo la proprietà che i coefficienti binomiali equidistanti dagli estremi sono uguali. Osserviamo poi che la somma dei coefficienti dei termini equidistanti dagli estremi è sempre n (se n è pari da questo discorso rimane escluso il termine centrale il cui valore è n/2). In ogni caso tutti i coefficienti possono essere sostituiti con n/2, senza alterare il valore della somma. Si ha allora: .