Esercizi "non standard"
Problema 1
Decomporre il numero 1999 in una somma di interi in modo che il loro prodotto sia il massimo possibile.
(da AA.VV., Maths pour les cracks, Bordas, Parigi 1999)
Problema 2
Esiste un intero N che si trasforma nel suo quintuplo se passiamo la sua prima cifra alla fine della sua scrittura decimale?
(da AA.VV., Maths pour les cracks, Bordas, Parigi 1999)
Problema 3
Provare che, dato un qualunque insieme di 5 interi, ne esistono tre la cui somma è divisibile per 3.
(da AA.VV., Maths pour les cracks, Bordas, Parigi 1999)
Problema 4
Provare che, se i reali a, b, c, d soddisfano la relazione a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+da, allora a=b=c=d.
(da Monier J.V., Analyse, tome 1, Dunod Université, Parigi 1990)
Problema 4.1
(si tratta di una variante del problema precedente)
Provare che, se l'equazione di secondo grado nell'incognita x 3x2+2(a+b+c)x+ a2+b2+c2=0 ha soluzioni reali, allora i tre parametri reali a, b, c sono uguali.
(da Marin D., 
G., Stancu C., 
, All Educational, Bucarest 2000)
Problema 5
Tutte le persone viventi hanno stretto la mano ad un certo numero di persone. Provare che il numero totale di persone che ha stretto le mani un numero dispari di volte deve essere un numero pari.
(da Shklarsky D.O., Chentzov N.N., Yaglom I.M., The Ussr Olympiad Problem Book, Freeman and Company, San Francisco, 1962)
Problema 6
Individuare i naturali x che godono della seguente proprietà: se si sopprime l'ultima cifra della loro scrittura decimale si ottiene un numero y che è un divisore di x.
(da Shklarsky D.O., Chentzov N.N., Yaglom I.M., The Ussr Olympiad Problem Book, Freeman and Company, San Francisco, 1962)
Problema 7
Dimostrare che 
è un numero
irrazionale.
(da Monier J.V., Analyse, tome 1, Dunod Université, 1990).
Problema 8
Dimostrare che, per ogni naturale n:
-
n3-n è divisibile per 3
-
n5-n è divisibile per 5
-
n7-n è divisibile per 7
(Si tratta di casi particolari di un teorema di Fermat che afferma che, se p è un primo, allora per ogni naturale n, np-n è divisibile per p. Si può tentare di provare questo teorema generale).
Problema 9
Qual è l'ultima cifra del numero 
,
dove la settima potenza è presa 1000 volte?
(da Shklarsky D.O., Chentzov N.N., Yaglom I.M., The Ussr Olympiad Problem Book, Freeman and Company, San Francisco, 1962)
Problema 10
E' data l'equazione 
. Trovare
l'errore nella risoluzione che segue. Quadriamo ambo i
membri e riordiniamo: 
; quadriamo
nuovamente e riordiniamo: 
; risolvendo troviamo
subito le soluzioni x=4 ed x=1. La soluzione
x=4, per sostituzione diretta nel testo dato dà:
1=3!!
(da Maxwell, E.A., Fallacies in Mathematics, Cambridge University Press, Cambridge 1963
Problema 11
Dire se esiste un triangolo equilatero che, in un piano riferito ad un sistema cartesiano ortogonale, ha tutti i vertici con coordinate razionali.
(da Gonzalez E., Stefani O., Eserciziario di Analisi Matematica, vol.I, Libreria Progetto, Padova 1989)