La somma delle potenze p-esime dei primi n numeri naturali
La formula di cui vogliamo parlare in questa pagina costituisce una generalizzazione della formula relativa alla somma dei primi n numeri naturali, che si può ricavare in maniera molto semplice, come fece il giovane Gauss, o per via grafica.
Se p ed n sono numeri naturali, ci proponiamo
di calcolare 
. Avremo bisogno di considerare anche
la stessa somma con 
, al posto di p:
chiameremo queste somme 
.
Dato un naturale k, si ha: k = (k-1)+1, da cui, applicando la formula del binomio di Newton:
.
Se in questa formula poniamo, successivamente, k=1, k=2,...,k=(n-1), otteniamo:
Ora, armandoci di pazienza, sommiamo membro a membro tutte
queste uguaglianze, raggruppando assieme tutti i termini che
stanno sulle stesse colonne e, per ciascuno di questi
raggruppamenti, raccogliendo l'eventuale fattore comune. Per
semplificare questo calcolo osserviamo che a primo membro
otteniamo 
, cioè 
; la prima colonna del secondo membro dà
semplicemente 
, l'ultima colonna
dà (n+1), le altre colonne sono il prodotto
di per 
.
Si ottiene (quasi!) subito: 
. Se semplifichiamo
il primo addendo che è comune nei due membri otteniamo la
formula che ci permetterà, per ricorrenza, di trovare la
somma che stiamo cercando.
.
Ora basta porre in questa formula, successivamente, p=2, p=3, ecc.
p=2 
p=3 
p=4 
Si osservi che da questa tabella scende 
,
cioè 
.
Anche la formula per 
può essere ricavata
con una dimostrazione per via
grafica.