La somma dei quadrati dei primi n numeri naturali
Questo argomento è qui proposto in una forma molto elementare, e richiede solo limitatissime competenze di calcolo letterale.
La somma dei quadrati dei primi n numeri naturali si può calcolare con una formula ricorrente. É però possibile anche trovarla utilizzando una particolare rappresentazione geometrica.
Consideriamo, tanto per fissare le idee, la somma 
.
Possiamo rappresentare ciascuno di questi numeri mediante
l'area di un rettangolo di base 1 ed altezza,
rispettivamente, 1, 4, 9, 16, 25. Immaginiamo di disporre questi
rettangoli come è indicato qui di seguito. La figura che
otteniamo è una parte del rettangolo di base 5 ed altezza
25, rettangolo che ha area 5·25, cioè
53.
Per completare questo rettangolo di area 53, ci mancano i rettangoli blu che si vedono qui di seguito. Essi sono in numero di 4, cioè uno in meno di quelli rossi. In sostanza possiamo affermare che il rettangolo totale si ottiene affiancando alla sinistra di tutti i rettangolini rossi, tranne il più piccolo, un rettangolo blu. Si vede subito che accanto al 2° rettangolo rosso (quello di area 4) c'è un rettangolo blu di base 1 altezza 3, accanto al terzo ce n'è uno di base 2 ed altezza 5, accanto al quarto ce n'è uno di base 3 ed altezza 7: le basi crescono di uno in uno e le altezze di 2 in 2. Per questioni di completezza possiamo immaginare che accanto al primo rettangolo rosso (che in realtà è l'unico quadrato del giochino) ci sia un rettangolo blu di base 0 ed altezza 1. A questo punto costruiamo una tabella che riassuma le caratteristiche della figura qui sotto, come si sono venute delineando.
Come si può vedere dalla tabella qui sotto, la base di ciascun rettangolo blu è esattamente una unità inferiore al numero progressivo che compare nella prima colonna, mentre l'altezza è esattamente il doppio di questo numero, diminuito di uno.
| N° | Area rett. rosso | Rett.blu | |
| Base | Altezza | ||
| 1 | 12 | 0 | 1 |
| 2 | 22 | 1 | 3 |
| 3 | 32 | 2 | 5 |
| 4 | 42 | 3 | 7 |
| 5 | 52 | 4 | 9 |
Se indichiamo con k il generico di questi numeri progressivi,
avremo che la base del rettangolo blu numero k è
(k-1), mentre l'altezza è (2k-1).
L'area di ciascuno di questi rettangoli è: 
.
Siamo ora pronti per trovare la formula che cerchiamo. Se indichiamo con x la somma che stiamo cercando, cioè l'area complessiva dei rettangoli rossi, con n il più grande intero in considerazione (nel nostro esempio era 5), e con s la somma dei primi n numeri naturali (ci servirà tra un momento, e ricordiamo che questa formula è stata trovata, per esempio, da Gauss all'età di otto anni), otteniamo che:
x + (area complessiva dei rettangoli blu) = n3.
Per l'area complessiva dei rettangoli blu possiamo ragionare esaminando la seguente tabella:
| Area primo rettangolo |
|
| Area secondo rettangolo |
|
| Area terzo rettangolo |
|
| Area quarto rettangolo |
|
| Area quinto rettangolo |
|
Si vede, abbastanza facilmente, che la somma delle aree è
. Finalmente, se sostituiamo s con la sua
espressione, 
, troviamo: 
.
Resta solo qualche semplificazione per trovare che
.