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Fasci di circoli a punti limite

Se i due cerchi base (o il cerchio base e l'asse radicale) sono privi di punti comuni, allora il fascio non ha alcun punto base. Se consideriamo la proiezione H del centro O del circolo dato sull'asse radicale, esso ha una potenza costante e positiva a2 rispetto ad ogni circolo del fascio (per la stessa definizione di fascio). Il circolo di centro H e raggio a incontra allora tutti i circoli del fascio nei punti di tangenza tra le rette condotte da H e i circoli del fascio. Ciò implica che questo circolo è ortogonale a tutti i circoli del fascio o, il che è lo stesso, che i circoli del fascio sono tutti e soli i circoli aventi centro sulla normale all'asse radicale per H e ortogonali ad un circolo di dato raggio a.

fascio a punti limite

In questo caso il fascio di circoli si chiama iperbolico.

In sostanza per costruire i circoli del fascio si può procedere nel seguente modo: dato il circolo di centro H e raggio a, per ogni suo punto P si tracci la tangente, che incontrerà l'asse centrale in un punto che è centro di un circolo del fascio, univocamente determinato dal fatto di passare anche per P. Da questo si deduce che il luogo dei centri dei circoli del fascio è la parte dell'asse centrale non interna al segmento LM, mentre i punti L ed M sono centri di due circoli di raggio nullo che appartengono al fascio: sono i due punti limite del fascio, che, in ragione di questo fatto, è detto fascio a punti limite.  

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E' chiaro che, se indichiamo con O' il centro di un generico circolo del fascio, il suo raggio è: img (basta applicare il teorema della secante e della tangente condotte da O' al cerchio di centro H e raggio a).

E' altresì evidente che HT2=HM2=HA·HB, cioè, sulla base di una proprietà caratteristica della divisione armonica, che i due estremi del diametro di un cerchio qualunque del fascio dividono armonicamente il segmento LM (basta applicare il solito teorema della secante e della tangente condotte da H al cerchio di centro O'). Ciò significa che i circoli del fascio sono tutti i circoli di Apollonio relativi al segmento LM.

fascio a punti limite

pagina pubblicata il 01/12/2000 - ultimo aggiornamento il 01/09/2003