La divisione armonica di un segmento
Definizione di divisione armonica
Consideriamo, su una retta r, un segmento AB e due punti C e D che dividono, internamente ed esternamente, il segmento in
parti aventi lo stesso rapporto: 
.
I due punti C e D si dicono coniugati armonici in rapporto ad A e B. É immediato che se C e D sono coniugati armonici in rapporto ad A e B, allora A e B sono coniugati armonici in rapporto a C e D. La quaterna di punti (ABCD) costituisce una divisione armonica.
É chiaro che il valore comune dei due rapporti non può essere 1, perché D deve essere
esterno ad AB: se C è nel punto medio di AB non esiste alcun D tale che ABCD sia una
divisione armonica. Poiché però all'avvicinarsi di C al punto medio di AB, D si
allontana all'infinito, si usa dire che il punto all'infinito della retta
r
è il coniugato armonico del centro del segmento AB.
Se il segmento AB si considera orientato e si prendono le misure con segno dei segmenti
orientati sopra la retta r, orientata in un modo qualunque, la relazione che definisce i
punti C e D può essere riscritta così: 
o, equivalentemente, 
.
Costruzione geometrica
Se è dato il punto C si conduca una retta s per A, formante un qualunque angolo con la retta r (nel grafico è tracciata la perpendicolare), e su di essa si riportino C in C' e B in B'. Si costruisca, sempre su s, il simmetrico B'' di B' rispetto a C'. Si congiunga B'' con B e si tiri la parallela da C' a B''B: essa interseca r nel punto D richiesto (teorema di Talete). Costruzione quasi identica se è dato il punto D.
Si veda una costruzione dinamica con CabriJava.
Una costruzione molto simile è la seguente: da A si tracci una retta non coincidente con AB e su di essa si prenda un punto M. Si tracci, da B, la parallela ad AM e si indichi con P la sua intersezione con la retta MC. Se Q è il simmetrico di P rispetto al punto B, la retta MQ interseca la retta AB nel punto D cercato. Per la prova si sfrutti la similitudine tra i triangoli DBQ e DAM e poi tra i triangoli CPB e CAM, e si noti che PQ=QB.
Si veda una costruzione dinamica con CabriJava.
Relazioni caratteristiche
Se si prende un sistema di ascisse sulla retta r, con origine in A, e si indicano con
a (che in questo caso vale zero), b, c, d le ascisse dei punti A, B, C,
D, da si trova:
c(d-b)+d(c-b)=0; svolgendo i calcoli e dividendo per bcd, si trova 
, ovvero 
. Quest'ultima relazione mostra
che AB è la media armonica di AC e AD.
Se si prende un sistema di ascisse con l'origine nel punto medio, I, di AB si ottiene, con le stesse notazioni e osservando che b=-a, IA2=IB2=IC·ID. Analogamente se si prende come origine il punto medio, J, di CD si ottiene JC2=JD2=JA·JB. Queste due relazioni sono caratteristiche della divisione armonica.
Fasci armonici di rette
Si chiama fascio armonico un insieme di quattro rette condotte da un punto O ai quattro punti di una divisione armonica. Se il punto O è mandato all'infinito, le quattro rette risultano parallele e il fascio armonico è detto fascio armonico di rette parellele. Le rette del fascio si chiamano raggi.
Il teorema fondamentale sui fasci armonici è il seguente: Un fascio armonico determina una divisione armonica su qualunque retta secante i quattro raggi del fascio.
Se (ABCD) è una divisione armonica, anche (A'B'C'D') lo è, qualunque sia il punto O.
Esempi e applicazioni
1) Proprietà delle bisettrici in un triangolo
Se ABE è un triangolo e si conducono le due bisettrici degli angoli interno ed esterno in E, basta ricordare il teorema della bisettrice per concludere che (ABCD) è una divisione armonica.
2) Circonferenza di Apollonio
Il luogo dei punti M tali che il rapporto delle distanze da
due punti dati A e B è costantemente uguale a k≠1 è una
circonferenza che ha per diametro i punti C e D della divisione armonica (ABCD) caratterizzata dai
rapporti =k.
Questa circonferenza è detta circonferenza di Apollonio.
Come è noto se invece k=1 il luogo in questione è l'asse del segmento AB.
Infatti se M è un punto che soddisfa ai requisiti richiesti esso sta su questo cerchio,
perché le bisettrici degli angoli AMB e del suo adiacente passano per C e D e sono tra di
loro perpendicolari. Inversamente, se M è un punto del cerchio detto, si ha, come è
noto, JM2= JC2=JA·JB, da cui si deduce che i triangoli JMA e JMB sono
simili. Ne segue: 
.
Inoltre da 
si trae
. Da qui segue subito
che 
.
Si veda un'animazione con CabriJava.