La divisione di un segmento secondo un rapporto dato
Se si considerano il segmento orientato, o il vettore, AB e un reale k≠1, esiste un unico punto C della retta orientata (in modo arbitrario) AB che divide il segmento AB in parti aventi rapporto (algebrico) k: se k è positivo il punto C è esterno al segmento AB, se k è negativo è interno. Se in particolare k=-1, il punto C è il punto medio di AB.
La verifica di questo fatto è immediata: si prenda, sulla retta AB, un'origine O e un sistema di ascisse. Allora la relazione che definisce C, che è CA=kCB, si scrive: OA-OC=k(OB- OC), ovvero (k-1)OC=kOB- OA. Da qui si vede che, per k≠1, esiste un unico punto C che soddisfa la condizione richiesta.
Per la costruzione si può usare il solito teorema di Talete. Su una retta (per esempio perpendicolare) ad AB per A si introduca un sistema di ascisse e si considerino il punto P di ascissa k e il punto Q di ascissa k-1. La parallela per P a QB incontra la retta AB nel punto C cercato.
Si può vedere un'animazione con CabriJava.
Se invece il segmento AB non è orientato e k≠1 è positivo, esistono due punti C e D della retta AB che dividono il segmento in parti di rapporto (aritmetico) k. Se k=1 solo il punto medio M di AB divide il segmento AB in parti uguali (cioè di rapporto 1).
Per la costruzione basta considerare, oltre ai punti P e Q come sopra, anche il punto R di ascissa k+1 e tirare, sempre da P, la parallela anche a RB, che incontra il segmento AB nell'ulteriore punto D soluzione del problema.
Si può vedere un'animazione con CabriJava.
Si veda, perché strettamente collegato a questo, il problema della divisione armonica di un segmento.