Indagini sulla continuità - 1

Consideriamo la funzione , definita su tutto il piano privato dell'origine. Il comportamento nei pressi dell'origine è particolarmente significativo perché sia il numeratore che il denominatore tendono a zero. Il grafico della funzione è rappresentato qui sotto e rende già conto della presenza di comportamenti anomali nei pressi di (0,0).

Una analisi più approfondita si può però ottenere per esempio considerando la restrizione della funzione stessa a rette passanti per l'origine, ovvero la sezione del grafico con piani verticali passanti per l'origine. Nelle figure qui sotto sono rappresentate alcune delle "curve sezione", che sono in realtà rette: si tratta di rette (private di un punto!) situate a quote diverse, per cui si può immediatamente concludere che la funzione non può avere limite quando (x,y) tende a (0,0), e  quindi non può essere continua in (0,0).

Purtroppo questo test non è sempre risolutivo, come mostra l'esempio della pagina successiva: se il limite lungo una sezione con un piano verticale cambia al cambiare del piano si può concludere che il limite non esiste; se però il limite ha lo stesso valore su tutti i piani verticali, questo non ci premette di concludere alcunché.