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Definizione di limite

Un primo approccio

Il problema di cui ci vogliamo occupare è, con linguaggio intuitivo, il seguente: consideriamo una funzione definita in un insieme D (dominio) e avente c (anche infinito) come punto di accumulazione. Sia poi x un punto qualunque, appartenente a D, e calcoliamo il corrispondente valore f(x). Immaginiamo ora di muovere x, facendolo avvicinare "quanto si vuole" a c, ma sempre rimanendo in D: che cosa succederà dei corrispondenti valori di f(x)? Se succede che f(x) si avvicina ad un determinato valore (anche infinito), diciamolo l, allora diremo che l è il limite, per x tendente a c, di f(x) e scriveremo o anche .

Per capire il problema consideriamo come esempio la funzione e il punto c=0.

Nella tabella qui di seguito abbiamo riportato nella prima colonna i valori di x (sempre più "prossimi" a zero) e i corrispondenti valori di che, come si può facilmente vedere, sono sempre più "prossimi" ad uno. Con la "definizione" data sopra potremo dire che .

É chiaro che una "definizione" di questo tipo non è per nulla accettabile dal punto di vista matematico: infatti anche se dalla tabella sembra chiaro che i valori di f(x) si approssimano ad uno, nulla ci garantisce che il comportamento rimanga "stabile" "comunque vicino ci mettiamo a zero".

Purtroppo una definizione rigorosa non è facile e soprattutto non è possibile tradurre in una precisa formulazione il concetto "dinamico" implicito nel modo di procedere che risulta dall'esempio sopra citato. Storicamente c'è voluto parecchio tempo prima che si riuscisse a trovare una formulazione corretta ed esente da critiche. Un passo avanti sensibile lo fece Cauchy, ma è solamente con Karl Weierstrass che si arriva al concetto nella forma ancora oggi ritenuta valida. La prima pubblicazione ufficiale avviene comunque ad opera di H.E.Heine, un allievo dello stesso Weierstrass, in Elemente, nel 1872.

La definizione rigorosa

Nella definizione di limite si ragiona nel seguente modo: dato un punto c (anche infinito) di accumulazione per il dominio di una funzione (il fatto che c sia di accumulazione ci garantisce che è possibile calcolare f(x) in infiniti punti nei pressi di c) e dato un certo numero l (che per ora non ci preoccupiamo di sapere come è stato determinato), ci piazziamo nei pressi di l, secondo un ordine di vicinanza arbitrario, cioè consideriamo un intorno arbitrario di l, e analizziamo quali sono i punti immagine di f che cadono in questo intorno arbitrario, cioè consideriamo tutte le frecce che sono cadute in questo intorno arbitrario. Se, tra gli arcieri che hanno sparato queste frecce, ci sono anche tutti quelli che stanno in un opportuno intorno di c, escluso al più c stesso di cui non vogliamo occuparci, allora possiamo affermare che , altrimenti no. Si noti che non abbiamo affatto escluso che di arcieri che hanno sparato queste frecce ce ne siano anche altri "lontani" da c, quello che conta è che ci siano tutti quelli che stanno in almeno un opportuno intorno di c escluso al più c stesso.  L'idea che sta alla base della definizione è che, in un certo senso, bisogna "cambiare ottica": invece di mettersi a guardare le cose dal punto di vista delle "x che si avvicinano a c", come parrebbe naturale, occorre piazzarsi sul codominio, in un intorno del punto l, e controllare quali sono le x che hanno immagine appartenente a questo intorno di l. Sparisce così l'idea di "movimento di x verso c".

Il modo di procedere appena indicato si può formalizzare con la seguente definizione:

Sia data una funzione f definita in un certo insieme D e sia c (anche infinito) un punto di accumulazione per D. Si dice che (l può anche essere infinito) se, .

Si noti come in questa definizione non ci sia alcuna indicazione su come si possa ricavare l: ci si preoccupa solo di controllare se un dato l verifica o no una certa condizione relativa a tutti i suoi intorni. Il problema di come calcolare questo valore l è estremamente complesso e sarà affrontato in seguito.

La definizione appena data ha una semplice interpretazione grafica. Si consideri un intorno U_l (un segmento o una semiretta); a partire da esso si stabilisca se esiste oppure no un intorno U_c in modo tale che il grafico della funzione ristretta ai punti di U_c stia completamente entro la striscia orizzontale individuata da U_l.Se il problema (che ha dunque come "incognita" l'intorno U_c) ha una soluzione allora il limite è l, altrimenti no.

Nelle figure che proponiamo di seguito si considera una funzione f(x) e il suo grafico, un punto c sull'asse delle ascisse e un punto l sull'asse delle ordinate.

Considerati alcuni intorni di l, si verifica che è sempre possibile trovare un intorno di c in modo che il grafico della funzione, ristretta a questo intorno di c, cada nella striscia verticale delimitata dall'intorno di l: si può dunque affermare che . Si noti, nella sequenza di immagini, che l'intorno di c si può sempre trovare anche se l'intorno di l diventa "infinitamente piccolo". É evidente, d'altra parte, che il problema della ricerca dell'intorno di c ha tanto minori probabilità di soluzione quanto più l'intorno di l è piccolo (se per esempio l'intorno di l fosse tutta la retta non occorrerebbe fare alcuna ricerca dell'intorno di c, ovviamente!).

Naturalmente il limite non esiste sempre (altrimenti che gusto ci sarebbe?). Si consideri per esempio la funzione il cui grafico è rappresentato qui sotto, e siano c ed l i valori indicati. Se si considera un intorno "grande" di l si riesce a determinare un intorno di c soddisfacente alle condizioni richieste nella definizione di limite; se però si considera un intorno "abbastanza piccolo" di l la cosa non è possibile, basta osservare che un qualunque punto a sinistra di c ha un'immagine che non sta nell'intorno scelto: ne consegue che l non è il limite della funzione, per x tendente a c. Si può capire facilmente anche come, in questo caso, non esista alcun valore di l che sia adatto: il .

La definizione di limite che abbiamo dato è basata unicamente sulla topologia, cioè sul concetto di intorno (sulla retta ampliata in uno dei due modi indicati) e non necessita di alcuna distinzione tra i casi di limiti in cui c o l siano finiti o infiniti. Per precisare le varie situazioni che si possono presentare riportiamo comunque più sotto alcune rappresentazioni grafiche, ricordando che quando si usa il simbolo "∞" si intende la retta ampliata con un solo punto, quando si usano i simboli "+∞"
e"-∞" si intende la retta ampliata con due punti.

Osservazioni

- Tra tutti gli intorni di un numero reale c ci interesseranno in maniera particolare gli intervalli che hanno centro nel punto stesso: li chiameremo Intorni circolari e indicheremo abitualmente con ε (epsilon) la loro semiampiezza. L'importanza degli intorni circolari, in particolare nella "verifica di limiti", risulta dal fatto che, come si può provare, nella definizione di limite ci si può limitare a considerare solo gli intorni circolari di l, anziché esaminare tutti gli intorni. In termini formali si può dire che gli intorni circolari costituiscono una base di intorni, e che , nella definizione di limite ci si può limitare a considerare questa base di intorni di l. Anche per gli intorni di c sarebbe sufficiente limitarsi a questa base di intorni, ma la cosa è, praticamente, poco utile. Il concetto di intorno circolare si può estendere anche al caso di ∞ : basterà considerare l'unione di due semirette del tipo , con a reale positivo. Il teorema citato vale anche in questo caso.

- In modo perfettamente analogo si può provare che, nella definizione di limite, è sufficiente considerare solo gli intorni piccoli quanto si vuole di l (R), nel senso che, se necessario, ci si può limitare a considerare solo gli intorni minori di un qualsivoglia numero positivo scelto a piacere. Tenendo conto anche dell'osservazione precedente possiamo concludere che è lecito limitarsi a considerare solo intorni circolari di l, con ampiezza ε minore di un qualsivoglia numero positivo fissato a piacere. In sostanza, se osserviamo che, con questo tipo di intorni, dire significa dire , possiamo concludere che, nel caso di lR, la definizione di limite può essere semplificata nel seguente modo:

Il concetto si può estendere anche agli intorni sulla retta estesa, basterà prendere semirette (o unioni di semirette) , con a "grande quanto si vuole".

- Una ulteriore proprietà , molto utile nelle dimostrazioni dei teoremi sui limiti, è la seguente: nel caso di lR, per verificare che , ci si può limitare, meno restrittivamente, a verificare che , con k numero positivo assegnato a piacere.

copyright 2000 et seq. maddalena falanga & luciano battaia

pagina pubblicata il 07/12/2002 - ultimo aggiornamento il 01/09/2003