Intorni "piccoli" nella definizione di limite
Nella definizione di limite ci si può limitare a
considerare solo gli intorni piccoli quanto si vuole di
l (
R), nel senso che, se necessario, ci si può
limitare a considerare solo gli intorni minori di un
qualsivoglia numero positivo scelto a piacere
Dimostrazione.
Indichiamo con Al un arbitario intorno di
l, di ampiezza minore di un prefissato a
(>0) e supponiamo di avere provato che, 
.
Consideriamo ora un arbitrario intorno Ul.
Esiste sicuramente un intorno "piccolo"
Al contenuto in Ul e
allora, in base all'ipotesi, si può trovare un
intorno Uc tale che 
.
Ma se f(x) cade in Al, a maggior
ragione cade anche in Ul: questo basta per
provare che 
.
Questa dimostrazione si può visualizzare graficamente con la successione di immagini proposta qui di seguito.
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| Immagine di partenza | Uno | Due | Tre | Quattro |
