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La polvere di Cantor

Consideriamo l'intervallo [0,1] dei reali, intervallo che indicheremo con C0. Lo dividiamo in tre parti uguali mediante i punti 1/3 e 2/3. Se gettiamo via la parte centrale, senza gli estremi, rimaniamo con l'insieme C1= [0,1/3]unione[2/3,1]. Se ripetiamo il procedimento su ciascuna delle due parti di cui è costituito C1, otteniamo l'insieme C2=[0,1/9]unione[2/9,1/3]unione[2/3,7/9]unione[8/9,1]. Ripetiamo il procedimento all'infinito, senza mai stancarci, ottenendo gli insiemi C3, C4, ...,Cn,...

L'insieme di Cantor, o Polvere di Cantor, è l'insieme: img.

Una rappresentazione grafica, necessariamente limitata ai primi passi, di questo procedimento può essere la seguente:

i primi passi nella costruzione dell'insieme di Cantor

Si noti che, per ogni n, le due metà di Cn+1, sono una copia esatta, ridotta di 1/3, di Cn. Questo significa che guardare Cn+1 con una lente che ingrandisca tre volte è lo stesso che guardare Cn ad occhio nudo. Si osservi altresì che la figura sopra riportata non è una rappresentazione dell'insieme di Cantor, ma solo del procedimento utilizzato per ottenerlo: non c'è alcuna possibilità di ottenere una qualche rappresentazione corretta dell'insieme che stiamo considerando.

L'insieme di Cantor gode di una serie di straordinarie proprietà, e viene spessissimo utilizzato per costruire esempi di notevole interesse in matematica. Tra questi citiamo una particolare funzione reale di variabile reale, detta scala diabolica o funzione di Vitali, di cui proponiamo la trattazione.

Le prime proprietà che ci interessano sono il fatto che ha  "lunghezza" nulla. e che ha la stessa cardinalità di R. Dal punto di vista topologico occorre aggiungere che l'insieme C, come sottoinsieme di R, è compatto, ovunque non denso, totalmente sconnesso, perfetto. Anche se la comprensione precisa di queste ultime caratteristiche richiede almeno un minimo di conoscenze di topologia, la sostanza si può intuire abbastanza facilmente: l'insieme in questione ha tanti punti quanti lo stesso insieme di partenza, pur avendo lunghezza nulla; inoltre non contiene alcun intervallo, nemmeno "piccolissimo", mentre "nei pressi di ogni suo punto" esiste sempre almeno un segmento, opportunamente piccolo, che non sta nell'insieme.

imgPer quanto riguarda il fatto che la curva ha lunghezza nulla è da segnalare che, se è vero che un po' alla volta il segmento viene "svuotato" del suo contenuto, è anche vero che, ad ogni passo, si toglie solo 1/3 della lunghezza, lasciandone dunque i 2/3, cioè la maggior parte. Indipendentemente dal livello raggiunto, ciò che resta è più di ciò che viene prelevato, ed è allora ben strano che alla fine resti una lunghezza nulla. Dunque la lunghezza è zero o no? Il calcolo matematico mostra di si, ma l'intuizione suggerisce che sarebbe meglio approfondire il problema.

Per come è stato costruito verrebbe da pensare che alla fine, dopo aver eliminato tutto quello che c'era da eliminare, in C siano rimasti solo gli estremi degli intervalli che sono stati eliminati: ci si rende conto invece subito che non può essere così, perché gli intervalli eliminati, e quindi anche i loro estremi, sono in quantità numerabile, mentre C non è numerabile. Un punto diverso dagli estremi, e che sta in C, è 1/4: la sua rappresentazione in base 3 è infatti data dal numero 0,020202..., cioè è un numero contenente solo le cifre 0 e 2, dunque sta in C. Per convincersene basta osservare che (4)10=(11)3 ed eseguire la divisione tra 1 e (11)3 (per capire meglio il calcolo si ricordi che la successione di numeri, in base 3, a partire da 1, si può scrivere così: 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100, ecc.):

divisione tra 1 e 11 in base 3

Che 1/4 non coincida poi con nessuno degli estremi dei segmenti soppressi risulta evidente per il fatto che il suo denominatore non è una potenza di 3.

Un'altra caratteristica interessante di C è il fatto che esso contiene infinite copie di se stesso, in scala ridotta: basta ricordare che  già Cn, come abbiamo più sopra osservato, contiene due copie, in scala ridotta di 1/3, di Cn-1. Questo fatto implica che l'ingrandimento di una qualunque porzione di C è sempre simile a C, ovvero che, anche se si esamina una porzione infinitamente piccola di C, la complessità di C non diminuisce. E' proprio questa caratteristica che rende C un frattale.

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pagina pubblicata il 28/01/2002 - ultimo aggiornamento il 01/09/2003