La scala diabolica
Utilizzando l'insieme di Cantor e la sua rappresentazione in base 3 è possibile
definire una funzione 
, dotata di straordinarie proprietà. Cominceremo a definirla sull'insieme
di Cantor e poi la estenderemo a tutto [0,1]. Se x è un elemento di
C, sia
0,a1a2a3... la sua scrittura in base 3, in cui gli
ai sono solo 0 oppure 2. Poniamo ora
.
L'immagine di x si ottiene cioè sostituendo tutti i 2 della scrittura ternaria
con degli 1, e interpretando il numero così ottenuto in base due. La funzione non è
iniettiva, anzi si può provare che sugli estremi di ciascuno degli intervalli cancellati per
ottenere l'insieme di Cantor essa assume gli stessi valori. Lo proveremo per esempio sul primo
intervallo di estremi 1/3 e 2/3. Si ha 
, 
. Però è suriettiva. Infatti ogni numero di [0,1] può essere
scritto, in forma binaria, con una scrittura del tipo 0,b1b2...e tale numero
è di certo l'immagine dell'elemento dell'insieme di Cantor che si scrive, in
forma ternaria, sostituendo tutti gli 1 con dei 2. Inoltre è una funzione (debolmente)
crescente. Se infatti x< y sono due punti di C, con rappresentazioni
ternarie 0,a1a2a3... e
0,b1b2b3..., sia n il primo indice delle cifre dopo la
virgola per cui i due numeri differiscono. Deve essere, necessariamente, an=0 e
bn=2. I due numeri sono allora
0,a1a2...an-10an+1... e
0,a1a2...an-12bn+1...; per le immagini si ha:
,
da cui la conclusione. La funzione f si può facilmente estendere a tutto [0,1] ponendola costante ed uguale al comune valore sugli estremi, in corrispondenza di tutti gli intervalli che si cancellano. La funzione così ottenuta è anche continua. Per farsi un'idea del grafico è opportuno immaginarla costruita per passi, esattamente come si fa con l'insieme C stesso.
In sostanza, man mano che si procede nel raffinamento del grafico si ottiene un sempre maggior
numero di tratti orizzontali, corrispondenti a tutti i segmenti che vengono cancellati
dall'intervallo [0,1], mentre la salita si spezzetta in tratti sempre più corti, ma
sempre più verticali. La funzione vera e propria avrà infiniti tratti orizzontali,
che corrispondono alle "pedate" della scalinata. La cosa sorprendente è che
se si calcola la lunghezza totale di tutte le "pedate" si ottiene 1, cioè
tanto quanto lo spazio orizzontale complessivamente occupato dalla scala stessa: non è
facile intuire come faccia a crescere da 0 ad 1 nonostante questo fatto!. Un'altra cosa
sorprendente è che, pur essendo crescente dal valore 0 al valore 1, non risulta strettamente
crescente su nessun sottointervallo di [0,1]: basta ricordare le già note proprietà
dell'insieme di Cantor per capire che su ogni sottointervallo di [0,1] ci sarà sempre un
segmento in cui la funzione risulta costante. Si noti inoltre che la funzione è continua
(per questo basta osservare che è debolmente crescente e la sua immagine è un
intervallo), e quindi, pur essendoci infiniti gradini, non c'è nessun salto del tipo:
. Se la funzione
non fosse continua, non ci sarebbe alcuna meraviglia nel fatto che essa cresca da 0 ad 1, avendo
dei tratti orizzontali di lunghezza complessiva 1: basta pensare, per esempio, alla funzione che
vale 0 tra 0e 1/2, e 1 tra 1/2 ed 1. Veramente in questa funzione il diavolo ci ha messo le
corna!
E' anche interessante osservare che questa funzione è derivabile quasi ovunque
(tranne che sull'insieme C, che ha misura nulla), con derivata nulla. Si ha cioè
f'(x)=0 
x di [0,1]\C, mentre f'(x) non esiste sugli
x di
C. Se ora consideriamo una funzione g(x) così definita: 
, dove "qualsiasi
cosa" è limitata, possiamo notare che g(x) coincide quasi ovunque con la
derivata di f(x). La funzione g(x) è sicuramente integrabile secondo Riemann
(teorema di Vitali-Lebesgue) e si ha 
. Se ne deduce che h(x)≠ f(x), per
x>0. In altri termini l'integrale della derivata della scala diabolica (quando essa
è derivabile!) non è la scala diabolica. Ancora più diabolico!
Un'interessante idea, presa dall'ottimo sito sui frattali che si trova su library.thinkquest.org, per cercare di capire come è fatta questa funzione è di immaginare un Pacman (tipo quello dei videogiochi) che, partendo da sinistra, mangi progressivamente tutti i punti dell'insieme di Cantor, diventando via via più grosso ad ogni punto ingerito. Si può immaginare che parta da massa nulla e arrivi, alla fine del percorso, a massa 1. La funzione qui considerata si può pensare come la descrizione grafica dell'aumento di massa del Pacman.
Questa funzione oltre che con il nome di scala diabolica o scalinata del demonio, è anche nota con il nome di funzione di Vitali, dal matematico italiano Giuseppe Vitali, al cui contributo è dovuto, assieme a Lebesgue, il teorema fondamentale che caratterizza le funzioni integrabili secondo Riemann, sulla base della "numerosità" delle loro discontinuità.