Premessa

La polvere di Cantor è uno dei più famosi sottoinsiemi dell'insieme dei numeri reali. Anche se al tempo in cui fu proposto da Georg Cantor (1883) la geometria frattale non era ancora nata, questo insieme può essere annoverato tra i più antichi frattali costruiti con un procedimento matematico. La natura, per contro, è piena di frattali, come si va riconoscendo in questi ultimi anni. Anzi, per dirla con Freeman Dyson, La natura ha fatto un brutto scherzo ai matematici: in sostanza nulla ha, nella realtà, le forme classiche della geometria di Euclide o delle curve inventate lungo il corso dei secoli dagli uomini.

In questa monografia, prendendo spunto proprio dall'insieme noto come Polvere di Cantor, proporremo una elementare introduzione alla geometria frattale, senza comunque alcuna pretesa di completezza. Una rigorosa introduzione dei concetti fondamentali della geometria frattale non è semplice e richiede tecniche matematiche abbastanza sofisticate. Questo vale soprattutto per il concetto più importante, che è quello di dimensione frattale. E' però possibile, con metodi elementari, farsi un'idea sufficientemente precisa dei punti fondamentali: è proprio quello che ci proponiamo. Anche in questa introduzione elementare abbiamo usato spesso nozioni più avanzate (topologia, analisi, ecc.): si possono tranquillamente tralasciare senza per nulla pregiudicare la comprensione dell'argomento. 

Il termine geometria frattale fu coniato dal matematico francese Benoit Mandelbrot, nel 1974, dunque in tempi molti recenti. Da allora i frattali hanno assunto un'importanza via via crescente per il numero di applicazioni nei campi più svariati, applicazioni di cui faremo qualche cenno nelle pagine della monografia.

A livello didattico la geometria frattale ci pare un argomento oltremodo interessante perché di grande attualità, perché permette interessanti applicazioni al computer e, last but not least, perché consente di applicare molte teorie e tecniche che si imparano nei campi più svariati: la cardinalità degli insiemi, la topologia, le trasformazioni geometriche, l'analisi delle funzioni reali di variabile reale, ecc.