Il caso di due punti
Luogo dei punti equidistanti da due punti dati
Il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da due punti dati è l'asse del segmento che congiunge i due punti. tale luogo viene sostanzialmente introdotto da Euclide nella Proposizione 10 del suo Libro I degli Elementi, dove è esposta la costruzione necessaria per bisecare una data linea retta finita. Si tratta di uno dei primi luoghi geometrici che si incontrano nello studio della geometria e la costruzione con riga e compasso è elementare: dati i due punti A e B si conducono le circonferenze di centro uno dei due e passanti per l'altro; il luogo cercato è la retta PQ passante per i punti comuni alle due circonferenze.
Luogo dei punti con distanze in rapporto assegnato da due punti dati
Il luogo in questione è la cosiddetta circonferenza di Apollonio, poiché, come riferisce Pappo, fu determinato da Apollonio nel 2° libro della sua opera Luoghi piani, non pervenutoci. Di questo stesso luogo si era però già occupato Aristotele nella Meteorologica, in particolare per fornire una spiegazione della forma semicircolare dell'arcobaleno. Per i dettagli sulla costruzione rimandiamo alla pagina sulla Divisione armonica di un segmento.