Il caso di due rette
Luogo dei punti del piano equidistanti da due rette date
Si tratta di un luogo elementare, costituito dalla coppia delle bisettrici (tra di loro perpendicolari) degli angoli individuati dalle rette, se le rette sono incidenti in O, dalla bisettrice della striscia individuata dalle rette, se le rette sono parallele. Anche la costruzione della bisettrice di un angolo è una delle prime presentate da Euclide nei suoi Elementi: si tratta della proposizione IX del Libro I, Bisecare un dato angolo rettilineo. In entrambi i casi la costruzione è elementare e non richiede commenti. Riportiamo quella relativa al caso delle rette incidenti. Le rette date sono r ed s. Si considera la circonferenza di centro O e raggio OP generico e le circonferenze di centro P e raggio PQ, di centro Q e raggio QP, di centro P e raggio PR, di centro R e raggio RP. Le bisettrici cercate sono le rette per O ed M e per O ed N rispettivamente.
Luogo dei punti con distanze in rapporto dato da due rette
Siano date due rette r ed s incidenti in punto O. Cerchiamo il luogo dei punti del piano tali che MH/MK=k. Se M è un punto del luogo cercato anche ogni altro punto N della retta OM appartiene al luogo, come si deduce dalla figura qui sotto per similitudine dei triangoli OHM ed OKM con i triangoli OIN ed OLN.
Il luogo cercato è dunque costituito da rette uscenti da O.
Per determinare le rette che fanno parte del luogo, cerchiamo le loro intersezioni con una retta passante per due punti A e B sulle rette date, equidistanti da O. Per la similitudine dei triangoli AHM e BKM si conclude che un punto M appartiene al luogo cercato se MH/MK=MA/MB=k. Possiamo supporre che k1, per non ricadere nel caso precedente. Allora esistono due punti sulla retta AB che soddisfano alla condizione richiesta, e precisamente i due punti che dividono il segmento AB in parti aventi rapporto k.
Utilizziamo la nota costruzione per determinare i due punti M e P che dividono il segmento AB in parti di rapporto k. Da A si tira la perpendicolare ad AB. Il segmento AE è lungo k, i segmenti EF ed FG sono lunghi 1, EM è parallela a GB, EP è parallela a FB. Le rette cercate sono OM ed OP. Se k tende ad 1 il punto P si allontana all'infinito e il punto M tende al centro di AB: si ricade nel caso precedente.
Se le due rette date sono parallele basta ripetere la stessa costruzione prendendo una perpendicolare comune alle due rette date. Si veda la figura qui sotto, dove abbiamo mantenuto le stesse notazioni della figura di sopra. Anche in questo caso se k tende ad 1, la retta esterna alla striscia si allontana indefinitamente, mentre quella interna tende alla bisettrice della striscia.
