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Qualche applicazione alla fisica

La fisica e in generale tutte le scienze applicate usano estesamente il concetto di integrale: non è ovviamente possibile fare un elenco di tutte le possibili utilizzazioni. In questa pagina intendiamo solo presentare alcune applicazioni elementari, senza particolari commenti, in cui questo concetto viene utilizzato.

Le notazioni che useremo sono quelle proposte nello studio delle applicazioni delle derivate.

Moti rettilinei

Poiché v(t) = x'(t) (oppure s'(t)), si ha, ovviamente, img. Se si vuole la variazione di ascissa in un intervallo di tempo basterà ovviamente fare img. Si tenga conto che, in generale, la variazione di ascissa non coincide con lo spazio percorso: I due valori coincidono (a meno eventualmente del segno) solo quando il moto non ha punti di inversione. Se per esempio lancio un sasso verso l'alto, dopo un po' esso ripasserà per la posizione di partenza: la variazione di ascissa è nulla, ma lo spazio percorso ovviamente no!

Essendo poi a(t) = v'(t) si troverà img.

Quantità di carica

Se in un conduttore passa la corrente i(t), la quantità di carica che attraversa una sua sezione può essere calcolata immediatamente: img.

Lavoro di una forza

In un moto rettilineo sia F(x) una forza, variabile con l'ascissa del punto mobile, e avente sempre la stessa direzione e verso dello spostamento. Il lavoro fatto dalla forza, nello spostamento da una posizione A a una posizione B è dato da img, ove a e b sono le ascisse di A e B.

Proponiamo anche un esempio di uso di una terminologia, comune nei testi di fisica, che dal punto di vista matematico è alquanto approssimativa, anche se il risultato ottenuto è perfettamente corretto. Ci riferiamo al calcolo del lavoro della forza elettrostatica prodotta da una carica puntiforme Q, quando una carica "spia" q si sposta da un posizione A ad una posizione B nello spazio.

Si consideri la figura qui sotto. In essa sono rappresentati, nell’ipotesi di cariche concordi: la curva lungo la quale si sposta la carica q dal punto iniziale A al punto finale B, la sorgente Q del campo, la forza F di interazione tra le cariche in una data posizione P della carica q, lo spostamento “elementare” dP (cioè uno dei tratti infinitesimi in cui deve essere diviso lo spostamento per il calcolo del lavoro), i due archi di circonferenza di centro Q passanti per l’origine e il secondo estremo del vettore dP. Per il calcolo del lavoro si dovrà fare il prodotto scalare tra F e dP e poi sommare i risultati ottenuti (con un integrale, ovviamente).

forza elettrica tra due cariche puntiformi

Il modulo della forza F è img, il prodotto del modulo di dP per il coseno dell’angolo tra dP ed F è, a meno del segno, uguale alla variazione dr di raggio tra le due circonferenze di figura. È facile constatare che, in ogni caso, vale img, purché Q, q e dr siano presi con il loro segno (per esempio nel caso di figura il prodotto scalare deve essere negativo e il valore di dr è proprio negativo). Il risultato segue ora immediatamente dal calcolo dell’integrale: . img.

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pagina pubblicata il 17/01/2003 - ultimo aggiornamento il 01/09/2003