Una definizione alternativa di logaritmo
La definizione di logaritmo, a livello elementare, passa attraverso un processo lungo e laborioso, in cui la maggior parte dei passaggi vengono forzatamente abbreviati, facendo ricorso a considerazioni intuitive e spesso senza alcuna giustificazione formale. Il processo classico si può sostanzialmente schematizzare nel seguente modo:
- Si definiscono, in R, le potenze con esponente razionale ar, e se ne studiano le proprietà.
- Si estende la predetta definizione di potenza ad esponenti reali qualunque in modo che continuino a valere le proprietà formali (e molto raramente questa definizione viene data con tutti i crismi!).
- Si definisce quindi la funzione esponenziale ax, con a positivo e diverso da 1, e se ne studiano le proprietà.
- In particolare si dimostra che la funzione è strettamente monotòna (crescente per a>1, decrescente per a<1).
- Si definisce quindi la funzione logaritmo come inversa della funzione esponenziale e se ne studiano le proprietà.
Tra le proprietà importanti che occorre considerare
(oltre alla stretta monotonia che è condizione
indispensabile per l'invertibilità) ci sono le
proprietà legate al calcolo di opportuni limiti e delle
derivate, in particolare il limite fondamentale 
, la cui trattazione è tutt'altro che
semplice.
Utilizzando la teoria dell'integrale di Riemann si può introdurre in maniera rigorosa ed elegante il concetto di logaritmo naturale e dimostrare (abbastanza) agevolmente tutte le proprietà.
Proponiamo solo un cenno di quello che potrebbe essere lo schema del ragionamento, senza entrare nei dettagli.
- Si considera la funzione, sui reali positivi, f(x) = 1/x (di importanza fondamentale nelle applicazioni in quanto rappresenta la proporzionalità inversa tra due grandezze). Poiché si tratta di una funzione continua essa è sicuramente integrabile nel senso di Riemann.
-
Si verifica che le primitive della funzione predetta non sono
funzioni "già note" (razionali e
trigonometriche) e si pone, per definizione,
.
- Si studiano le proprietà della funzione così introdotta.
Alcune delle proprietà sono immediate:
-
.
- ln(x) < 0 per 0 < x < 1; ln(x) > 0 per x > 1.
- ln(x) è continua e derivabile, con derivata 1/x.
- ln(x) è strettamente crescente sui reali positivi.
Per le altre proprietà la dimostrazione è una semplice conseguenza delle proprietà dell'integrale di Riemann e rimandiamo i curiosi ad un buon testo di analisi per la verifica (es. T.M.Apostol, Calcolo, Vol.I, Boringhieri 1977).
Una volta definita la funzione logaritmo si può introdurre la funzione esponenziale come sua funzione inversa e quindi le potenze con esponente reale.
Questo modo di procedere, seppure un po' astratto e formale, consente di evitare molti passaggi difficili della impostazione tradizionale. E' comunque da segnalare che una trattazione completa e rigorosa delle funzioni logaritmo ed esponenziale, che comprende anche le funzioni trigonometriche, è possibile solo nel campo complesso, ma questo ci porterebbe troppo lontano rispetto agli scopi di questa monografia ...!