Le geometrie non euclidee
Le possibili geometrie non euclidee nascono dalla sostituzione del postulato delle parallele (quinto postulato) con postulati alternativi. Si pretende infatti di lasciare immutati gli altri postulati che appaiono molto più "evidenti".
Le possibilità sono due:
- Per un punto fuori da una retta si possono condurre almeno due parallele alla retta data.
- Per un punto fuori da una retta non si può condurre alcuna parallela alla retta retta data.
La prima scelta dà luogo alla geometria iperbolica, la seconda alla geometria ellittica, secondo le definizioni di Klein. I nomi originano dalle parole greche che indicano rispettivamente un eccesso o un difetto rispetto al numero di parallele previsto nella geometria di Euclide.
E' da rilevare che, in realtà, l'attributo "non euclidea" sarebbe proprio solo della geometria iperbolica. Nella geometria di Euclide, infatti, si può dimostrare (e lo fa lo stesso Euclide), indipendentemente dal quinto postulato, l'esistenza di almeno una parallela ad una retta data. Il quinto postulato è in realtà un postulato di unicità . La scelta di affermare che non esistono parallele deve dunque, per evitare la contradditorietà immediata, portare alla modifica anche di qualche altro postulato, cioè alla costruzione di una geometria che differisce da quella di Euclide anche in aspetti più basilari che non l'unicità della parallela.
Nella geometria iperbolica si arriva a dimostrare l'esistenza di infinite rette passanti per un punto e non secanti una retta data, ma, sostanzialmente per motivi di semplicità di nomenclatura, solo a due di esse si dà il nome di parallele, mentre tutte le altre si dicono semplicemente non secanti o anche ultraparallele.
Per dimostrare la coerenza logica delle geometrie non euclidee, e per avere una idea visiva di come vanno le cose, si usa rappresentare le geometrie non euclidee utilizzando modelli che si basano sulle ordinarie figure della geometria di Euclide.
Tra i più noti citiamo il disco di Klein e il disco di Poincaré per la geometria iperbolica e il modello sulla sfera per la geometria ellittica.