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Il modello di Klein della geometria iperbolica

Le geometrie non euclidee possono essere rappresentate utilizzando modelli che si basano sulle ordinarie figure della geometria euclidea. Questo ci consente di avere una idea visiva di come vanno le cose in queste geometrie, anche se in genere una trattazione esplicita delle varie proprietà è abbastanza difficile. In questa e nelle analoghe pagine in cui proponiamo modelli di geometrie non euclidee vogliamo solo accennare al problema, senza entrare nei dettagli: scopo principale è quello di stimolare la curiosità del lettore. Per approfondimenti rimandiamo alla letture e ai siti citati in bibliografia.

Il modello di Klein è tra i più semplici della geometria iperbolica. Si tratta di un modello di questa geometria in cui i concetti di punto, retta, piano, non hanno una rappresentazione granché diversa rispetto a quanto siamo abituati nella geometria di Euclide. La cosa radicalmente diversa è costituita dal fatto che non vale il postulato delle parallele nella forma di Euclide.

Consideriamo un cerchio, che indichiamo con K, e diamo le seguenti definizioni:

• Punto è un punto interno (sono cioè esclusi i punti sul bordo).
• Retta è una qualunque corda, privata degli estremi.
• Piano è l'insieme di tutti i punti interni.

E' immediato verificare che, in questo modello, per due punti passa una sola retta, che esistono almeno tre punti distinti che non stanno su una stessa retta, e altri assiomi validi nella ordinaria geometria di Euclide.

Però se si considera una retta r ed un punto P fuori di essa, per P passano infinite rette che non intersecano r. Nella figura a lato abbiamo tracciato le due rette "limite", PA e PB che non intersecano r, perché i punti A e B della circonferenza non fanno parte del nostro "piano", ed un altra retta intermedia, anch'essa senza intersezioni con r. Le rette PA e PB sono considerate parallele ad r, mentre le altre sono considerate "non secanti" o "ultraparallele" (è più che altro una questione di definizioni: nel senso usuale potrebbero tranquillamente essere definite parallele).

Una geometria come questa è stata definita iperbolica da F.Klein perché in greco iperbole significa eccesso, in relazione al fatto che il numero di parallele è in eccesso rispetto a quanto previsto dalla geometria di Euclide.

Questo modello, seppure molto semplice da definire, presenta però una serie di problemi, in particolare con la definizione di angolo: gli angoli nel modello non sono definiti allo stesso modo che nel piano euclideo.

Naturalmente c'è anche il problema di una definizione di distanza che, tra l'altro, renda le rette infinitamente lunghe. Questa definizione richiede l'uso dei logaritmi e si dà nel seguente modo: considerato il segmento AB, lo si prolunga (in una retta) fino ad incontrare in M ed N la circonferenza limite del nostro piano di Klein. Si pone poi .  Sfruttando le proprietà dei logaritmi si vede subito che se A e B coincidono la distanza diventa zero, mentre se uno dei due punti si avvicina al bordo del cerchio la distanza diventa infinita. Questa definizione di lunghezza soddisfa anche i requisiti normali che una lunghezza deve avere, e cioè è sempre positiva ed è additiva (se un segmento è l'unione di due segmenti la sua lunghezza è la somma delle due lunghezze).

Un modello simile a quello di Klein, ma in cui la definizione di angolo è identica a quella usuale è il modello di Poincaré.

La trattazione del modello di Klein non è semplice, ma ci può venire in aiuto il solito Cabri che, con un menu opportuno, ci consente di costruire automaticamente le principali figure della geometria. Tra le tante versioni di questo menu segnaliamo quella che si può reperire, con le istruzioni per l'uso (in inglese!), su http://www.gettysburg.edu/~dflesner/.

Nelle figure che seguono proponiamo alcune costruzioni, realizzate con il Cabri-menu sopra citato, con qualche commento.