Il modello di Poincaré della geometria iperbolica
Le geometrie non euclidee possono essere rappresentate utilizzando modelli che si basano sulle ordinarie figure della geometria euclidea. Questo ci consente di avere una idea visiva di come vanno le cose in queste geometrie, anche se in genere una trattazione esplicita delle varie proprietà è abbastanza difficile. In questa e nelle analoghe pagine in cui proponiamo modelli di geometrie non euclidee vogliamo solo accennare al problema, senza entrare nei dettagli: scopo principale è quello di stimolare la curiosità del lettore. Per approfondimenti rimandiamo alla letture e ai siti citati in bibliografia.
Il modello di Poincaré è un pochino più complesso di quello di Klein, ma molto istruttivo. Si tratta di un modello di geometria iperbolica in cui l'idea di punto è simile a quanto conosciamo nella geometria di Euclide, mentre quella di retta è sostanzialmente diversa. La cosa comunque importante è costituita dal fatto che non vale il postulato delle parallele nella forma di Euclide.
Consideriamo un cerchio, che indichiamo con K, e diamo le seguenti definizioni:
- Punto è un punto interno (sono cioè esclusi i punti sul bordo).
- Retta è ogni diametro, privato degli estremi, oppure ogni arco di circonferenza, interno al cerchio K e con estremi sullo stesso, ma sempre privato degli estremi, ed ortogonale alla circonferenza che lo delimita (due cerchi si dicono ortogonali se le loro tangenti nei punti di intersezione sono ortogonali).
- Piano è l'insieme di tutti i punti interni.
Non è facile lavorare con questo modello, ma ci può venire in aiuto il solito Cabri, che, con un menu opportuno, ci consente di costruire automaticamente le principali figure della geometria. Tra le tante versioni di questo menu segnaliamo quella che si può reperire, con le istruzioni per l'uso (in inglese!), su http://mcs.open.ac.uk/tcl2/nonE/nonE.html.
In questo modello l'angolo tra due "semirette" è definito in maniera identica a quanto si fa nella geometria usuale, prendendo in considerazione gli angoli fra le tangenti agli archi di cerchio nei loro punti di intersezione. La distanza tra due punti è definita in modo simile a quanto si fa nel modello di Klein, con qualche difficoltà legata al fatto che i "segmenti" e le "rette" sono, in genere, archi di cerchio. E' interessante il fatto che i cerchi hanno lo stesso aspetto che hanno nella geometria euclidea, tranne per la posizione del centro.
Nelle figure che seguono proponiamo alcune costruzioni, realizzate con il Cabri-menu sopra citato, con qualche commento.
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In questa immagine sono rappresentate quattro rette, passanti per un stesso punto A (AC, AE, AD, AB) e due segmenti (HL ed FG). Delle quattro rette una è un diametro, le altre tre sono archi di cerchio. |
In questa immagine sono rappresentate: una retta AB, le due parallele passanti per un punto P (PS e PR) ed un'altra retta, PQ, non secante AB: anche quest'ultima potrebbe essere considerata parallela ad AB (infatti non la interseca), ma si preferisce riservare questo nome solo alle due rette "estreme", PS e PR. Le rette dello stesso tipo di PQ si dicono ultraparellele. |
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Due triangoli, ΔFGH ed ΔECD, simmetrici rispetto alla retta AB. |
Un angolo di vertice A, la sua misura in gradi (ottenuta misurando l'angolo tra le tangenti ai due archi di cerchio) e la bisettrice dell'angolo. |
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Due triangoli con la misura dei loro angoli interni e la misura della somma: come è caratteristico di questa geometria, la somma è sempre minore di 180° ed è variabile da triangolo a triangolo. |
Un cerchio di centro D (!). Si osservi come l'aspetto del cerchio sia identico a quello che si ha nella ordinaria geometria, mentre ciò non succede per il centro. |
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Un triangolo (EFG) e il cerchio ad esso circoscritto. I punti L, M, N sono i punti medi dei tre lati. Le rette CL, CN, CM sono i tre assi e C è il circocentro. Si osservi che il punto medio di un segmento non corrisponde al punto medio in senso euclideo, mentre il concetto di perpendicolarità è identico. |
Un cerchio di centro O, due diametri tra di loro perpendicolari e il quadrato inscritto nello stesso cerchio. |
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Un quadrato e la misura dei suoi angoli (ovviamente tutti uguali): la somma è minore di due retti. |
Un ottagono regolare e il cerchio ad esso circoscritto. |
