Il logo di batmath
www.batmath.it

La geometria ellittica di Riemann

Tra le possibili geometrie non euclidee la geometria ellittica è quella in cui si postula che per un punto fuori da una retta non si possano condurre parallele alla retta data. Poiché dai primi quattro assiomi della geometria di Euclide si può dedurre l'esistenza di almeno una parallela ad una retta data, l'assunzione di questo postulato implica necessariamente la modifica di qualche altra proprietà dei punti e delle rette.

Per renderci conto di come funzionino le geometrie non euclidee conviene rappresentarle utilizzando modelli che si basano sulle ordinarie figure della geometria euclidea. Questo ci consente di avere una idea visiva di come vanno le cose, anche se in genere una trattazione esplicita delle varie proprietà è abbastanza difficile. In questa e nelle analoghe pagine in cui proponiamo modelli di geometrie non euclidee vogliamo solo accennare al problema, senza entrare nei dettagli: scopo principale è quello di stimolare la curiosità del lettore. Per approfondimenti rimandiamo alla letture e ai siti citati in bibliografia.

Cominciamo con il dare le "definizioni" degli oggetti base del più classico modello di geometria ellittica.

Con queste scelte si può verificare facilmente che per due punti ellittici passa una sola retta e che due qualunque rette ellittiche hanno sempre un punto in comune. Si vedano le due figure qui sotto: a sinistra una "retta" AB, a destra due "rette" AC e BC aventi il "punto" C in comune.

retta nella geometria ellittica rette nella geometria ellittica

Altre proprietà della retta, come già detto, devono essere perse. In particolare segnaliamo che, a differenza della geometria ordinaria del piano, in questo caso le rette sono sempre finite e che, inoltre, dati tre punti su una retta non è vero che uno dei tre sta sempre tra gli altri due. Questo fatto modifica in maniera sostanziale le proprietà dell'ordine sulla retta, proprietà che permettono nella geometria piana di introdurre il concetto di verso.

A chi volesse sperimentare interattivamente la geometria ellittica suggeriamo di utilizzare Cinderella, un software molto simile a Cabri, di cui si possono trovare tutte le informazioni su http://www.cinderella.de.

pagina pubblicata il 18/03/2004 - ultimo aggiornamento il 01/12/2011