Numeri di Fermat
I numeri di Fermat costituiscono un caso abbastanza interessante dal punto di vista storico: il principe dei dilettanti nel campo della matematica congetturò che essi fossero primi, ma Eulero dimostrò che quest'ipotesi era falsa. É l'unico caso in cui Fermat è stato preso in castagna: tutte le sue congetture, anche la più ardita nota come Ultimo teorema di Fermat, si sono dimostrate esatte.
Il problema è: tra i numeri del tipo
2k+1, quali sono primi?. I numeri primi del
tipo 2k-1 erano già stati considerati
da Euclide trattando dei numeri perfetti, e Fermat, come era suo
costume, si interessa allora ai numeri del tipo
2k+1. É chiaro che se k
è dispari il numero non può essere primo,
perché è divisibile per 3: basta tenere conto
della nota scomposizione 
, valida per k
dispari. Se poi k è pari e non è una
potenza di 2, allora k sicuramente il prodotto tra un
pari e un dispari: k = pd. Scrivendo 
,
si conclude, come prima, che il numero in questione è
divisibile per 2p+1. Dunque gli unici primi
di questo tipo devono essere ricercati tra i numeri della forma
.
Un calcolo immediato prova che i numeri di questo tipo
corrispondenti ai valori di n = 0, 1, 2, 3,
4 sono primi: 
. Fermat
congetturò allora che tutti questi
numeri fossero primi. Eulero però, un secolo
più tardi, provò (ovviamente con calcoli manuali!)
che 
, cioè che il sesto numero di Fermat
non era primo. Dopo di allora attraverso i calcoli di una
schiera di appassionati è stato provato che i numeri da
F5 a F21 (ma forse ora
si è andati oltre) non sono primi, anche se non di tutti
si è scoperta la fattorizzazione completa. Si conosce
anche qualche altro numero molto più grande che non
è primo: per esempio F1945 e
F9448. É chiaro che simili risultati
non si possono ottenere con un calcolatore: già il primo
di questi due numeri ha un numero di cifre sicuramente
più grande del numero stimato di atomi nell'universo,
per cui non potrà mai essere scritto sulla carta!.
Paradossalmente oggi la ricerca è volta più a
dimostrare la congettura opposta a quella di Fermat: nessun
numero di Fermat, a parte i primi cinque, è primo!. Ma
non è detto che la domanda potrà mai avere una
risposta. Forse è il diavolo che ci ha messo lo zampino.
Mentre la generalizzazione del
problema della ricerca delle terne pitagoriche andò
esattamente come Fermat pensava (cioè non c'erano
soluzioni), la generalizzazione del problema della scomposizione
dei numeri del tipo 
, andò in maniera
opposta all'idea di Fermat (cioè questi numeri
possono essere scomponibili, o addirittura forse sono sempre
scomponibili, tranne i primi cinque).
Ci si potrebbe chiedere quale può essere l'interesse per questioni di questo genere: lo stesso Dieudonnè, per esempio, che pur cita la comparsa di questi numeri in certe teorie matematiche, in L'arte dei numeri, Mondadori, 1989, li inserisce tra i Problemi troppo difficili e problemi sterili.
Noi qui ci limitiamo a segnalare il loro ruolo nel famoso problema della ciclotomia.