Numeri di Fermat
I numeri di Fermat costituiscono un caso abbastanza interessante dal punto di vista storico: il principe dei dilettanti nel campo della matematica congetturò che essi fossero primi, ma Eulero dimostrò che quest'ipotesi era falsa. É l'unico caso in cui Fermat è stato preso in castagna: tutte le sue congetture, anche la più ardita nota come Ultimo teorema di Fermat, si sono dimostrate esatte.
Il problema è: tra i numeri del tipo 2k+1, quali sono primi?. I numeri
primi del tipo 2k-1 erano già stati considerati da Euclide trattando dei
numeri perfetti, e Fermat, come era suo costume, si interessa allora ai numeri del tipo
2k+1. É chiaro che se k è dispari il numero non può
essere primo, perché è divisibile per 3: basta tenere conto della nota scomposizione
, valida per
k
dispari. Se poi k è pari e non è una potenza di 2, allora
k sicuramente
il prodotto tra un pari e un dispari: k = pd. Scrivendo 
, si conclude, come prima, che il numero in questione
è divisibile per 2p+1. Dunque gli unici primi di questo tipo devono essere
ricercati tra i numeri della forma
.
Un calcolo immediato prova che i numeri di questo tipo corrispondenti ai valori di
n =
0, 1, 2, 3, 4 sono primi: 
. Fermat congetturò allora che tutti questi numeri fossero
primi. Eulero però, un secolo più tardi, provò (ovviamente con calcoli
manuali!) che 
,
cioè che il sesto numero di Fermat non era primo. Dopo di allora attraverso i calcoli di una
schiera di appassionati è stato provato che i numeri da F5 a
F21 (ma forse ora si è andati oltre) non sono primi, anche se non di tutti
si è scoperta la fattorizzazione completa. Si conosce anche qualche altro numero molto
più grande che non è primo: per esempio F1945 e
F9448. É chiaro che simili risultati non si possono ottenere con un
calcolatore: già il primo di questi due numeri ha un numero di cifre sicuramente più
grande del numero stimato di atomi nell'universo, per cui non potrà mai essere scritto
sulla carta!.
Paradossalmente oggi la ricerca è volta più a dimostrare la congettura opposta a
quella di Fermat: nessun numero di Fermat, a parte i primi cinque, è primo!. Ma non è
detto che la domanda potrà mai avere una risposta. Forse è il diavolo che ci ha messo
lo zampino. Mentre la generalizzazione del problema della ricerca
delle terne pitagoriche andò esattamente come Fermat pensava (cioè non c'erano
soluzioni), la generalizzazione del problema della scomposizione dei numeri del tipo 
, andò in maniera opposta
all'idea di Fermat (cioè questi numeri possono essere scomponibili, o addirittura forse
sono sempre scomponibili, tranne i primi cinque).
Ci si potrebbe chiedere quale può essere l'interesse per questioni di questo genere: lo stesso Dieudonnè, per esempio, che pur cita la comparsa di questi numeri in certe teorie matematiche, in L'arte dei numeri, Mondadori, 1989, li inserisce tra i Problemi troppo difficili e problemi sterili.
Noi qui ci limitiamo a segnalare il loro ruolo nel famoso problema della ciclotomia.