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Integrali doppi e tripli - Soluzione 1.3

Calcolare l'integrale img, essendo D il parallelogramma di vertici (0,0), (3,3), (5,2), (2,-1).

Cominciamo con il rappresentare graficamente il dominio di integrazione D, e con lo scriverlo in forma analitica.

dominio di integrazione

Se determiniamo le equazioni dei quattro lati del parallelogramma, vediamo che il dominio D si può anche scrivere, in forma analitica, come D = {(x,y) | -3 ≤ y-x ≤ 0, 0 ≤ y+x/2 ≤ 9/2}. Questa scrittura ci suggerisce di effettuare un cambiamento di variabili tale da rendere il dominio D normale rispetto ad uno dei nuovi assi (addirittura un rettangolo). Basterà porre: img, ovvero img. Il dominio trasformato sarà T = {(u,v) | -3 ≤ u ≤ 0, 0 ≤ v ≤ 9/2}. Lo Jacobiano è -2/3, da cui:  img.

Si noti che l'integrale era calcolabile anche senza il cambiamento di variabile proposto, ma il dominio D doveva essere spezzato in tre domini normali , sia "guardandolo" dall'asse x che dall'asse y.

pagina pubblicata il 22/04/2004 - ultimo aggiornamento il 22/04/2004