Integrali doppi e tripli - Soluzione 1.2
Calcolare il volume del solido: E = {(x,y,z) | (x+1)2 + y2 ≤ z ≤ 2x + 5}.
Si tratta della regione compresa tra la superficie di equazione z = (x+1)2 + y2 e il piano z = 2x+5. Posto x+1=t, che equivale a spostare l'origine degli assi nel punto (-1,0,0), la superficie diventa z = t2 + y2, da cui si deduce che si tratta di un paraboloide di rotazione attorno alla retta parallela all'asse z e passante per (-1,0,0). Per rendersi conto del tipo di figura si poteva anche disegnarne le sezioni con i piani coordinati: z = 1 + y2 con il piano yz, e z = (x+1)2 con il piano xz. Le figure piane e la superficie tridimensionale sono rappresentate nelle figure qui sotto.
Per visualizzare correttamente il piano si comincia con l'osservare che è parallelo all'asse y (in quanto manca il termine in y nella sua equazione). Inoltre le sue sezioni con i piani xz, xy, yz, sono facilmente rappresentabili. In questo caso la più interessante è quella con il piano xz che è rappresentata qui sotto. A questo punto la rappresentazione grafica tridimensionale del piano non pone problemi.
Possiamo dunque renderci facilmente conto di come sia fatta la regione di cui ci viene chiesto il volume, ottenibile prendendo la parte di paraboloide che sta "sotto" al piano. La figura si può vedere qui sotto, da due diverse angolazioni. Nella figura più a destra delle tre abbiamo anche rappresentato la proiezione del volume sul piano xy, che ci servirà per utilizzare la formula di riduzione per corde, la più naturale per questo tipo di figura. La determinazione esplicita di questa proiezione, che indichiamo con S, si può fare osservando che, dalle disuguaglianze che definiscono l'insieme E, (x+1)2 + y2 ≤ z ≤ 2x + 5, si trae , confrontando il primo membro con l'ultimo, x2 + y2 ≤ 4, cioè una circonferenza con centro l'origine e raggio 2, nel piano xy.
L'integrale ora è abbastanza semplice, e si fa
utilizzando la formula di riduzione per corde parallele
all'asse z: 
. Abbiamo anche
utilizzato un ovvio passaggio a coordinate polari.