La funzione tan(arctan(x))
Se le funzioni tangente e arctangente fossero una l'inversa dell'altra non ci sarebbe molto da dire relativamente alla funzione composta tan(arctan(x)): basterebbe solo osservare che, in accordo con la regola generale sulle funzioni inverse si otterrebbe l'identità sul dominio di arctangente, cioè su tutto R. Poiché però l'arctangente è l'inversa di una restrizione della funzione tangente, una precisazione si rende opportuna.
Dato un reale x dell'intervallo qualunque, la funzione arctangente produce un reale
dell'intervallo 
, e questo è esattamente l'intervallo a cui abbiamo ristretto la funzione
tangente per poterla invertire. Se ne deduce che la funzione in oggetto è proprio
l'identità su R: una situazione molto più semplice di quello che succede
con le funzioni sin(arcsin(x)) e cos(arccos(x)).
L'animazione qui sotto, ottenuta con la regola per tracciare graficamente la composta di due
funzioni, visualizza dinamicamente questo fatto: mentre il punto P varia in su tutto
R, il
punto Q, che descrive il grafico della funzione composta
tan(arctan((x)), traccia tutta la bisettrice y=x.