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La funzione arctan(tan(x))

La funzione tangente è definita su img, e fornisce valori su tutto R; ciò significa che la funzione arctan(tan(x)) non è definita su R, e quindi non può essere l'identità su R; la cosa è ulteriormente confermata dal fatto che arctangente ha solo l'intervallo img come codominio. Se ne deduce che il fatto che le due funzioni arctangente e tangente non sono una l'inversa dell'altra ha, in questa composizione, importanti conseguenze.

Per capire come vanno le cose osserviamo innanzitutto che la funzione tangente è periodica di periodo π e quindi basterà limitare l'indagine ad un intervallo ampio π: poiché l'arctangente è l'inversa della tangente ristretta a img,sceglieremo proprio questo intervallo. Basterà invocare le note proprietà delle funzioni inverse  per concludere che la funzione considerata è semplicemente l'identità di img. La cosa è provata dinamicamente dall'animazione qui sotto: mentre il punto P descrive il tratto img, il punto R, che descrive la funzione composta arctanotan, percorre il corrispondente tratto della bisettrice y=x.

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Qui sotto è rappresentato il grafico complessivo, ottenuto per periodicità.

grafico

É facile rendersi conto analiticamente del risultato ottenuto dinamicamente.

I due grafici qui sotto riportano la situazione per x nell'intervallo img; per gli altri x basta invocare la periodicità della funzione tangente.

grafici

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pagina pubblicata il 28/01/2003 - ultimo aggiornamento il 01/09/2003