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Funzioni razionali fratte 

L'integrazione delle funzioni razionali fratte occupa un capitolo a sé nel del calcolo delle primitive, innanzitutto per la sua grande importanza nelle applicazioni e poi perché dal punto di vista tecnico il problema può essere ricondotto a quello della ricerca degli zeri di un polinomio. In sostanza le primitive di una funzione razionale fratta possono essere determinate con una tecnica standard se si riesce a decomporre in fattori il polinomio al denominatore.

Le primitive fondamentali

Cominciamo a calcolare le primitive di tre tipi fondamentali di funzioni razionali fratte, a cui tutti gli altri si possono ricondurre: img

  1. img.
  2. img.
  3. Se n=1 l'integrale è immediato: img. Per n >1 si può usare una formula ricorrente. Posto img, si trova : img.  Mediante questa formula, applicata quante volte serve, il calcolo di In è ricondotto a quello, noto, di I1

Ci servirà poi saper ricondurre a questi il calcolo seguente: img. Si tratta di eseguire alcune manipolazioni algebriche e una sostituzione opportuna

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Decomposizione in fratti semplici

Consideriamo una generica funzione razionale fratta; si possono presentare due situazioni:

  1. il grado del numeratore è maggiore od uguale a quello del denominatore;
  2. il grado del numeratore è minore di quello del denominatore.

Nel primo caso si può eseguire la divisione tra numeratore e denominatore, ottenendo: img (Q è il quoziente e R è il resto). La frazione "residua" è del tipo "2". La ricerca delle primitive di N/D si riconduce dunque alla ricerca di quelle di R/D, in quanto Q è un polinomio. Basta dunque considerare il secondo caso. Per esse vale il seguente

Teorema di decomposizione di Hermite. Data una funzione razionale fratta propria img, con N e D polinomi primi fra di loro, la frazione si può sempre decomporre in una somma finita di frazioni del tipo img e img, con img. Precisamente:
  • Ogni radice reale a del denominatore, di molteplicità p, contribuisce alla predetta somma con i seguenti p addendi: img.
  • Ogni radice complessa α+iβ del denominatore, di molteplicità q assieme alla sua coniugata α-iβ, contribuisce alla predetta somma con i seguenti q addendi: img, ove img.

Questo teorema consente di ricondurre il calcolo delle primitive di una qualunque funzione razionale fratta a quella degli integrali fondamentali proposti sopra. Esso permette, tenendo conto degli integrali fondamentali considerati sopra, di concludere che

Le primitive di una funzione razionale fratta sono sempre costituite da una combinazione lineare finita di funzioni razionali (anche intere), e funzioni del tipo img oppure img

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Esempi

punto elenco Calcolare img. Si ha img.  Se si riduce quest'ultima somma di frazioni allo stesso denominatore, si trova un numeratore di terzo grado, con coefficienti dipendenti da A, B, C, D. Questo numeratore deve essere uguale al numeratore del primo membro: per il principio di identità dei polinomi si troverà un sistema lineare di quattro equazioni in quattro incognite, che ci permetterà di trovare i quattro coefficienti incogniti A, B, C, D. Si ottiene: A=1, B=1, C=-1, D=0. I primi due addendi si integrano facilmente, per l'ultimo si opera come segue: img. Si deve ulteriormente modificare il secondo addendo tra parentesi, come segue: img.

Basterà ora porre img, cioè img, da cui img.  Riunendo tutti i risultati ottenuti si trova, infine, img.

punto elenco Calcolare img. Si ha img. Con il metodo sopra indicato si trova A=-1, B=-1, C=1. Si ha subito: img

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pagina pubblicata il 07/01/2003 - ultimo aggiornamento il 01/09/2003