Curve asintotiche
Sia y=f(x) una funzione definita in un intorno di +∞ (analoghe considerazioni per
le funzioni definite in un intorno di -∞). Se la funzione si può decomporre nella
somma f(x)=g(x)+h(x) e se 
, diremo che la y=g(x) è una
curva
asintotica a f(x), per 
.
Questa definizione è giustificata dalla seguente osservazione: presi due punti P e Q,
rispettivamente sul grafico di f(x) e di g(x), aventi la medesima ascissa, la
differenza , 
,
fra le loro ordinate tende a zero al tendere di x a +∞, in perfetta analogia con la
definizione di asintoto.
Un esempio è fornito da 
: y=x2 è una curva asintotica a
f(x), per
.
Una funzione può avere anche più curve asintotiche.
Si consideri per esempio la funzione 
. Poiché si può scrivere: 
, oppure 
, oppure 
, si ottiene che
f(x) è asintotica a
, a
, a 
.
Il caso più importante è quello delle funzioni razionali fratte 
, essendo N (=anxn+...) e D
(=bmxm+...) due polinomi nell'indeterminata x. Per queste funzioni non
occorre fare distinzione tra +∞ e -∞ e si può seguire il seguente schema
semplificato per la ricerca degli asintoti orizzontali ed obliqui:
-
Se deg(N)<deg(D), allora
, da cui segue che y=0 è asintoto
orizzontale. -
Se deg(N)=deg(D), allora
, da cui 
è asintoto orizzontale. -
Se deg(N)>deg(D), si esegua la divisione tra N e D, ottenendo
, con deg(Q)=deg(N)-deg(D) e
deg(R)<deg(D). Se ne deduce che y=Q(x) è asintotica a
f(x): se deg(Q)=1, si tratta di un asintoto, se deg(Q)>1 si
tratta di una curva asintotica.
Come esempio di funzione razionale fratta con
curva asintotica si può prendere 
, che ha come parabola asintotica la y=x2+x+3.
