Volume di un solido di rotazione
Consideriamo la funzione f(x)=x/2 e il trapezoide (in questo caso un triangolo) da essa individuato tra l'origine e un punto b. Per calcolare l'integrale possiamo considerare le somme di Cauchy relative ad una particolare suddivisione dell'intervallo [a,b], in parti "infinitamente piccole" dx, ciascuna delle quali avrà un'altezza f(x).
Immaginiamo ora di far ruotare il trapezoide attorno
all'asse delle ascisse, di un giro completo, ottenendo un
solido di rotazione (in questo caso un cono). Ciascuno dei
rettangoli della somma di Cauchy genera un cilindro di altezza
dx e di raggio di base f(x): il volume
di questi cilindri sarà allora 
. Nello stesso modo in cui abbiamo
concluso che l'area del trapezoide è 
, potremo concludere che il volume del solido di
rotazione è 
. Si può facilmente
controllare la bontà di questo risultato nel caso
particolare del cono rappresentato qui di seguito.
Esempio
Calcolare il volume del solido ottenuto da una rotazione
completa attorno all'asse delle ascisse del dominio piano
limitato dal grafico della funzione 
,
dall'asse delle ascisse e dalle rette x=0,
x=4.
.
Si osservi che l'area del trapezoide individuato dal grafico
della funzione e dall'asse delle ascisse non è
elementarmente calcolabile in quanto la funzione non è elementarmente integrabile.
