Assiomi, teoremi, corollari e cose simili
Prima di addentrarci ulteriormente nello studio della geometria è utile chiarire il significato di termini che sono di uso quotidiano (e non solo in geometria) come assioma, teorema, corollario e altri.
Ci accontenteremo, naturalmente, di una introduzione semplice e schematica di questi concetti: la sola comprensione accurata di che cosa si intenda con teoria assiomatica richiederebbe interi volumi...
Assiomi
Sono proposizioni che vengono introdotte senza dimostrazione e che si riferiscono a proprietà dei termini non definiti. Sono proprio gli assiomi che ci permettono di farci un'idea (anche fisica) di che che cosa siano gli enti primitivi: noi non ci chiediamo che cosa siano gli enti primitivi, ci basta solo sapere che tra di essi intercorrono certe relazioni e caratteristiche che noi stessi soggettivamente attribuiamo loro. In sostanza gli assiomi delimitano e caratterizzano gli enti primitivi, togliendo loro buona parte di quella arbitrarietà che sembrava assoluta quando li abbiamo introdotti solo come "parole". L'unica cosa di cui dovremo preoccuparci è di controllare che gli assiomi stessi non si contraddicano l'uno con l'altro. Purtroppo questo controllo non è per niente semplice e può richiedere lunghi e complessi dibattiti. L'esempio più clamoroso è l'assioma delle parallele di Euclide, di cui parleremo diffusamente.
Nella formulazione di Euclide l'idea originale era che gli assiomi fossero una estrapolazione e una sistemazione formale di osservazioni sperimentali, ma lo stesso Euclide era restio ad ammettere "l'evidenza sperimentale" di un postulato come quello delle parallele, e oggi riteniamo che non solo esso sia poco evidente, ma che possa tranquillamente essere negato.
Teoremi
I teoremi sono proposizioni dedotte, mediante ragionamento, dagli assiomi o da altri teoremi già dimostrati, utilizzando gli enti primitivi ed eventualmente altri oggetti via via introdotti.
Per capire la situazione consideriamo qualche esempio:
- Se scaldo la cera di una candela essa fonde.
- Se un triangolo ha due lati uguali ha anche due angoli uguali.
In queste frasi si può individuare il seguente schema: se si verifica una prima condizione, allora consequenzialmente se ne deve verificare una seconda. Questo tipo di proposizioni si chiamano implicazioni logiche. La prima condizione prende il nome di ipotesi, la seconda di tesi. La tesi è dunque una conseguenza dell'ipotesi e questa dipendenza può essere verificata sperimentalmente (come nel caso della cera scaldata) o mediante un preciso ragionamento, detto dimostrazione. Questo tipo di implicazioni logiche da provare mediante un opportuno ragionamento vengono dette teoremi. La proposizione che si intende dimostrare viene detta enunciato.
In un teorema si distinguono dunque:
-
L'enunciato, cioè l'affermazione da
provare, contenente:
- l'ipotesi, ovvero la condizione di partenza;
- la tesi, ovvero la condizione che deve essere provata.
- La dimostrazione, cioè l'insieme dei ragionamenti, basati sugli assiomi o su teoremi precedenti, che ci permettono di dedurre logicamente la tesi dall'ipotesi.
Lemmi
Alcune volte la dimostrazione di un teorema può essere estremamente complessa e può richiedere un grande numero di implicazioni logiche intermedie. In questi casi si usa suddividere il teorema in parti, anteponendo una o più proposizioni, dette lemmi, la cui tesi viene utilizzata quasi esclusivamente nel teorema stesso.
Corollari
Alcune volte succede che da un determinato teorema ne seguano subito alcuni altri, la cui dimostrazione è talmente immediata da poter essere appena accennata. Questi teoremi sono detti corollari. Si noti che in molti casi le tesi espresse nei corollari possono essere più importanti di quelle espresse nel teorema principale.
Definizioni
Definire significa descrivere, con parole che si suppongono note, un oggetto (geometrico nel nostro caso). In sostanza si può dire che le definizioni servono a sostituire espressioni complesse con un'unica parola. Le definizioni servono a introdurre nuovi concetti, dopo quelli primitivi.
Bisogna prestare attenzione a capire la differenza che c'è tra una definizione e un ente primitivo: la definizione utilizza gli enti primitivi o teoremi già dimostrati, gli enti primitivi sono oggetti su cui non si fa alcuna affermazione.
Una chiarificazione completa del concetto di definizione e del suo uso in matematica sarebbe in realtà molto complessa, ma ciò ci porterebbe troppo lontano. Gli interessati possono leggere quanto riportato alla apposita voce nel Dizionario di matematica elementare, citato in bibliografia.