Termini non definiti
Proviamo ad eseguire alcuni esperimenti sulle parole utilizzando un dizionario di italiano. L'idea è questa: partiamo da una parola, ne leggiamo la definizione e cerchiamo sul vocabolario una delle parole usate nella definizione; procediamo così fin che non ritroviamo una delle parole già usate: a questo punto siamo in un circolo vizioso. Abbiamo fatto parecchi esperimenti con vari dizionari e ottenuto più o meno gli stessi risultati. Ne riportiamo alcuni, dall'edizione del 1990 del Grande Dizionario De Agostini della Lingua Italiana. Naturalmente abbiamo cercato parole attinenti la geometria, ma le conclusioni che trarremo sarebbero sostanzialmente valide con tutte le parole.
- Spazio: l'estensione vuota e illimitata nella quale si immaginano immersi gli enti geometrici solidi e nella quale sono collocati gli oggetti reali.
- Estensione: spazio, …
- Stop: circolo vizioso!
- Punto: in geometria, ente elementare intuitivo, privo di dimensioni.
- Dimensione: ciascuna delle misure di cui ci si vale per determinare l'estensione di una superficie o di un corpo nelle varie direzioni.
- Estensione: spazio, superficie.
- Spazio: l'estensione …
- Stop: circolo vizioso!
- Retta: ente geometrico definibile intuitivamente come la più corta delle linee che congiungono due punti e che si prolungano all'infinito nei due sensi.
- Linea: in geometria, concetto intuitivo che l'immaginazione raffigura come la traiettoria tracciata da un punto mobile.
- Traiettoria: la linea immaginaria percorsa da un oggetto che si muove nello spazio.
- Spazio: l'estensione vuota e illimitata nella quale si immaginano immersi gli enti geometrici solidi e nella quale sono collocati gli oggetti reali.
- Estensione: spazio, …
- Stop: circolo vizioso!
Questi esempi sono significativi perché mostrano anche che, pur partendo da diverse parole, il circolo vizioso finisce più o meno nello stesso modo (non è sempre così, naturalmente).
Non possiamo non concordare con quanto dice Samuel Coxeter in Projective Geometry: "Un circolo vizioso illustra l'importante principio che qualunque definizione di una parola richiede necessariamente altre parole, le quali richiedono ulteriori definizioni. Il solo modo di evitare un circolo vizioso è di pensare certi concetti primitivi come cose così semplici e ovvie che concordiamo nel non definirle. In modo simile la prova di ogni affermazione usa altre affermazioni; e siccome dobbiamo iniziare da qualche parte, concordiamo nel lasciare alcune semplici affermazioni senza prova. Queste affermazioni primitive sono dette assiomi".
I concetti primitivi sui quali concordiamo nella necessità di non definirli si chiamano termini non definiti, o enti primitivi. Questi oggetti, che Euclide inserisce nelle Definizioni, sono dunque parole sul significato delle quali non si dà alcuna spiegazione. Quelli che noi useremo sono gli stessi proposti da Hilbert e precisamente:
- Punti
- Rette
- Piani
- Giace su, contiene
- Tra
- Congruente
Utilizzeremo, secondo la consuetudine, lettere latine maiuscole (A, B, ...) per indicare i punti, lettere latine minuscole (a, b, ...) per indicare le rette, lettere greche minuscole (α, β, ...) per indicare i piani (anche se, parlando di geometria piana, noi avremo sempre a che fare con un solo piano).
In realtà Euclide dà una qualche forma di spiegazione di alcuni di questi concetti, per esempio del punto dice: Il punto è ciò che non ha parti; della retta: La retta è lunghezza senza larghezza. E' evidente che tali "spiegazioni" non significano praticamente nulla: per esempio non posso dire che la retta è lunghezza senza larghezza quando ancora non ho detto che cosa si intenda con lunghezza o larghezza, termini che saranno introdotti molto avanti nel corso di geometria. E' utile comunque, in particolare nella prima fase dello studio della geometria, farsi un'idea intuitiva di che cosa significhino queste "parole", basandosi sia su conoscenze pregresse che sul significato che si attribuisce loro nel linguaggio comune.
Man mano che si prende dimestichezza con il metodo della geometria è però opportuno ragionare sempre di più prescindendo da queste rappresentazioni mentali e utilizzando solo le proprietà di questi concetti che saranno precisate negli assiomi di cui parleremo tra poco. E' esattamente questo il percorso logico corretto: si comincia con una semplice elencazione dei termini che si useranno; successivamente si stabiliscono delle proprietà, dette assiomi, che questi oggetti devono soddisfare; infine, sulla base di queste proprietà, ci si costruisce un modello (anche concreto) di oggetti che soddisfino i requisiti richiesti. E' importante tenere presente che, a partire da uno stesso insieme di assiomi, si possono costruire diversi modelli (seppure in un certo senso equivalenti): quello che tutti noi abbiamo in mente quando pensiamo alla geometria è uno dei possibili, quello che siamo portati a ritenere "naturale", perché ad esso siamo abituati fin dai primi anni scolastici.
La semplice "dichiarazione" di questi concetti ci autorizza già a costruire frasi, sulla cui validità però non possiamo affermare assolutamente nulla:
- Un punto giace su una retta.
- Una retta giace su un punto.
- Una retta contiene un punto.
- Un punto giace su un piano.
- Un piano giace su un punto.
- Una retta giace su un piano.
- Un punto giace tra due punti.
- Un piano giace tra due punti.
- Una retta contiene un piano.
Solo gli assiomi che introdurremo ci potranno dire quali tra queste frasi saranno vere e quali invece false: per ora possiamo costruirle chiedendoci solo se sono sintatticamente corrette. Sulla base delle nostre pregresse conoscenze di geometria è chiaro che alcune delle frasi soprascritte ci fanno sorridere: dobbiamo però tenere presente che, per ora, non abbiamo strumenti adatti a decidere della loro falsità o verità.
Può essere utile, per capire il senso di quanto abbiamo detto, leggere le pagine della sezione Prima di cominciare o gli approfondimenti inseriti in questa sezione. Come già ripetutamente indicato però, non si deve pretendere di capire a fondo questi concetti alla prima lettura: occorrerà tornarci sopra più e più volte.