Dai manuali scolastici: come rendere impossibile un teorema semplice

Il teorema dell'unicità del limite

Il teorema dell'unicità del limite, per le funzioni reali di variabile reale, è uno di quelli che dovrebbero "lasciare il segno" nella carriera scolastica di uno studente anche delle scuole medie superiori. Si tratta in effetti di un teorema giustamente inserito, in tutti i testi, nella sezione dei "Teoremi fondamentali" sui limiti. La tesi del teorema è strettamente legata ad una proprietà notevole dell'insieme dei numeri reali con la topologia "usuale", e precisamente quella di essere uno spazio topologico separato, o di Hausdorff: due punti distinti ammettono sempre intorni disgiunti. Anche se normalmente questa proprietà non viene trattata né nei corsi di scuola media superiore, né in quelli dei primi anni di università, il teorema in questione mantiene comunque tutta la sua importanza.

Abbiamo sempre pensato che questo teorema avesse una dimostrazione semplice ed intuitiva, almeno nel caso delle funzioni reali di variabile reale, ma ci sbagliavamo: per motivi "famigliari" ci è capitato di una leggere una dimostrazione talmente arzigogolata da giustificare pienamente  il rifiuto ad apprenderla. Se c'è un sistema sicuro per rendere la matematica opprimente, soprattutto a livello preuniversitario, è, secondo noi, quello di proporre agli studenti dimostrazioni di questo tipo.

È già difficilissimo far leggere agli studenti della scuola media superiore la "parte di teoria", ma se si presentano pagine come quella di cui stiamo parlando, riteniamo che la battaglia sia sicuramente persa.

Abbiamo riportato in un breve articolo in formato pdf sia la dimostrazione "incriminata", sia una tra le tante che si possono ritenere "normali", oltre ad alcune altre considerazioni.