Alcune interessanti definizioni fondamentali in matematica
Trascrizione integrale di alcune definizioni prelevate da un sito, che per altro contiene parecchie cose molto pregevoli.
Definizione 1.2 Un numero è rappresentato da una sequenza di un numero qualsiasi di cifre da zero a nove che può anche essere divisa in due parti dal punto decimale. In altri termini un numero è quello che può essere scritto su una qualsiasi calcolatrice premendo i tasti da 0 a 9 ed eventualmente il tasto col punto decimale.
Ad esempio sono numeri 4 oppure 364 o ancora 985.382. Ora proviamo a rispondere a questa domanda.
Una frazione è un numero? La risposta è NO! ... La frazione descrive l'operazione da svolgere per ottenere il numero.
... A questo punto ci si può domandare perché affaticarsi a fare i calcoli con le frazioni quando è molto più semplice usare i numeri.
Poveri numeri ridotti miseramente a output di banali calcolatrici!
... Nel corso di matematica sarà dimostrato che quasi tutti i numeri decimali possono
essere scritti sotto forma di frazione. Quasi perché esiste una classe di numeri per i quali
sfortunatamente questo non è possibile: Il più noto tra questi è il famoso
3.14 che è usato, tra l'altro, nel calcolo dell'area e della circonferenza di un
cerchio. Si tratta di un numero con un numero infinito di cifre che si ripetono senza alcun ordine
(numero non periodico) e che quindi non potrà mai essere scritto esattamente ma solo e
soltanto in forma approssimata. Spesso nei calcoli elementari si usano due soli decimali scrivendo
soltanto 3.14 ma per chiarire meglio il concetto ora lo scriviamo con 50 decimali:
π=3.1415926535897932384626433832795028841971693992751
Si tratta ancora di un numero approssimato!
Per ridurre l'errore nei calcoli è necessario usare il maggior numero di cifre
possibili. Fortunatamente non è necessario ricordare questo numero a memoria perché
in tutte le calcolatrici scientifiche è possibile scriverlo premendo un solo tasto.
Ma non ci avevano detto che i numeri irrazionali erano molti di più dei razionali (anzi
che erano tanti quanti tutti i numeri)?
E poi: se questo famoso numero si può scrivere con un solo tasto, allora le calcolatrici
(scientifiche si badi bene!) possono operare con infinite cifre?
Ma la cosa che ci pare più interessante nel passo citato è il concetto di numero
approssimato. Francamente non ci risulta che i numeri si possano dividere in numeri esatti e numeri
approssimati: sono numeri e basta. In realtà questa espressione nasconde, a nostro avviso,
un grave e sottile errore di logica. Mentre è corretto dire che 3.14 è
un'approssimazione di π, o un valore approssimato di π, non ha alcun senso dire che 3.14
è un numero approssimato: 3.14 è un numero e basta; se si volesse essere pignoli si
potrebbe dire che 3.14 è un'approssimazione razionale dell'irrazionale π, ma
forse si diventa troppo sofisti.
1.2.1 Una equazione è la dichiarazione che due espressioni matematiche sono uguali.
3+5=8
Questa è proprio una gran bella novità!.
Insieme vuoto
I simboli che si usano per rappresentare l'insieme vuoto sono { }, 
, {}.
Purtroppo il terzo dei simboli proposti è gravemente errato, in quanto l'insieme
{} ha un
elemento, l'elemento "", e quindi non può essere vuoto. D'altro canto uno dei modi per
definire i naturali utilizza proprio questo tipo di costruzioni basate sull'insieme vuoto:
0=||, 1=|{}|, 2=|{,{}}|, 3=|{,{,},{,{}}}|, ecc, dove con il simbolo
| | abbiamo indicato la cardinalità di un insieme.
Definizione di valore assoluto
Il valore assoluto (o modulo) di a è il numero considerato sempre positivo.
|-5|=5, |6|=6.
Questa definizione non è di per sé errata, e potrebbe avere un senso se, per
esempio, si introducessero i numeri relativi come coppie formate da un segno e da un valore
assoluto (con qualche attenzione per lo zero!). Non si tratta però del modo comune di
introdurre i relativi e invitiamo ad attenersi invece a quella che è la definizione
codificata da tutti i testi universitari e cioè: 
. Una definizione come quella proposta in questo sito
implica che la funzione modulo ha come dominio R e come codominio i
Reali assoluti
(si badi bene: i reali assoluti, cioè senza segno, non i reali positivi, che invece un segno
ce l'hanno, anche se di solito non lo scriviamo per brevità). Questo può portare
a sottili errori di logica: non dovrei per esempio scrivere 
, in quanto il primo membro è un reale positivo,
mentre il secondo, seguendo la definizione proposta in questo sito, sarebbe un reale senza
segno.
Per concludere, una cosa di fisica, che ci è parsa degna di nota:
Definizione 7.1 La Dinamica studia le azioni da effettuare su una massa affinché rispetti le richieste cinematiche.
No comment!