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Introduzione alternativa al numero di Nepero

Esistono diverse strategie per introdurre il numero di Nepero, base dei logaritmi naturali e della funzione esponenziale più importante.

Qui vogliamo proporre un metodo a nostro avviso molto significativo, e facilmente trattabile anche senza ricorrere al concetto di limite.

Il problema che dà origine a questa trattazione è il seguente:

Dato un reale a>0, si considerino le funzioni

f(x)=xa (funzione potenza) e g(x)=ax (funzione esponenziale);

si esaminino le intersezioni tra i due grafici, per x>0, al variare di a.

È evidente che i due grafici si intersecano in corrispondenza di x=a, in quanto si ottiene, da entrambe le funzioni, aa. Il problema è di vedere se ci sono altre intersezioni e, in caso affermativo, quante.

La situazione è particolarmente semplice per a≤1, quando le due curve hanno il solo punto di intersezione x=a. La situazione per a=0.5 e per a=1 è rappresentata nei due grafici qui sotto. In questo caso una delle due funzioni è decrescente, mentre l'altra è crescente.

grafico della funzione potenza e della funzione esponenziale, per a<1

Nel caso a>1 la situazione diventa più interessante: le intersezioni sono sempre due, tranne nel caso in cui a=e, in cui le due curve sono tra di loro tangenti esattamente nel punto x=e, e non hanno altri punti comuni.

Le situazioni per 1<a<e, a=e e a>e rispettivamente sono rappresentate nei grafici qui sotto, dove è stato scelto a=2 nel primo e a=4 nel terzo.

grafico della funzione potenza e della funzione esponenziale, per 1<a<e

grafico della funzione potenza e della funzione esponenziale, per a=e

grafico della funzione potenza e della funzione esponenziale, per a>e

È interessante notare che, per 1<a<e, la prima intersezione si ha in corrispondenza di x=e, nel caso a>e è invece la seconda intersezione che si avviene in corrispondenza di x=e.

La verifica di quanto sopra, in particolare del fatto che per x=e le due curve sono tangenti, richiede il calcolo delle derivate, ma una verifica grafica con Cabri è abbastanza semplice, come si può vedere nell'animazione qui sotto, nella quale, variando a, puoi controllare che cosa succede, entro certi limiti.

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In conclusione si può osservare che il numero di Nepero fa da separatore tra i due sottoinsiemi A e B dei reali maggiori di 1 così definiti:

  • A è l'insieme degli a>1 per cui le due curve f(x)=xa e g(x)=ax si intersecano in due punti x1<x2, con x1=a;
  • B è l'insieme degli a>1 per cui le due curve f(x)=xa e g(x)=ax si intersecano in due punti x1<x2, con x2=a.

Insomma questo numero di Nepero non finisce mai di sorprendere!

pagina pubblicata il 11/03/2007 - ultimo aggiornamento il 11/03/2007