Dimostrazioni usando il calcolo differenziale
. La funzione a primo membro è continua in
[-1,1] e derivabile all'interno con derivata ovunque nulla.
Il teorema sul limite della derivata assicura la
derivabilità anche agli esetrmi. Per il solito corollario
del teorema di Lagrange la funzione è allora costante e
basta calcolarne il valore in un punto per concludere sulla
validità della identità.
. La funzione a primo membro è continua in
R\{0}e derivabile con derivata ovunque nulla.
Non si può concludere che è costante, visto che il
dominio non è un intervallo. Essa è però
costante sui reali strettamente positivi e su quelli
strettamente negativi, che sono intervalli. Basterà
allora calcolare il valore in un punto per entrambi gli
intervalli per concludere sulla validità
dell'identità.
.Come nei due casi precedenti basta controllare
che la derivata del primo membro e quella del secondo membro
sono uguali e che in entrambi i casi si tratta di funzioni
definite su intervalli. Bisognerà inoltre verificare
l'uguaglianza su un punto.
.Come nei due casi iniziali basta controllare che
la derivata del primo membro e quella del secondo membro sono
uguali e che in entrambi i casi si tratta di funzioni definite
su intervalli. Bisognerà inoltre verificare
l'uguaglianza su un punto.
. Come nei due casi iniziali basta controllare che
la derivata del primo membro e quella del secondo membro sono
uguali e che si tratta di funzioni definite su intervalli.
Bisognerà inoltre verificare l'uguaglianza su un
punto.