Dimostrazioni usando il calcolo differenziale
. La funzione a primo membro è continua in
[-1,1] e derivabile all'interno con derivata ovunque nulla. Il teorema sul limite della derivata assicura la
derivabilità anche agli esetrmi. Per il solito corollario del teorema di Lagrange la funzione è allora
costante e basta calcolarne il valore in un punto per concludere sulla validità della identità.
. La funzione a primo membro è continua in
R\{0}e derivabile con derivata ovunque nulla. Non si può concludere che è costante, visto che il
dominio non è un intervallo. Essa è però costante sui reali strettamente positivi e su quelli
strettamente negativi, che sono intervalli. Basterà allora calcolare il valore in un punto per entrambi gli
intervalli per concludere sulla validità dell'identità.
.Come nei due casi precedenti basta controllare che
la derivata del primo membro e quella del secondo membro sono uguali e che in entrambi i casi si tratta di funzioni
definite su intervalli. Bisognerà inoltre verificare l'uguaglianza su un punto.
.Come nei due casi iniziali basta controllare che la
derivata del primo membro e quella del secondo membro sono uguali e che in entrambi i casi si tratta di funzioni
definite su intervalli. Bisognerà inoltre verificare l'uguaglianza su un punto.
. Come nei due casi iniziali basta controllare che la
derivata del primo membro e quella del secondo membro sono uguali e che si tratta di funzioni definite su intervalli.
Bisognerà inoltre verificare l'uguaglianza su un punto.