Progressioni aritmetiche
Si chiama progressione aritmetica una successione di tre o più numeri, tali che la differenza tra ciascuno di essi e il precedente sia costante.
La differenza costante di cui sopra si chiama ragione della progressione e si indica con d (da differenza). È ovvio che si può supporre d≠0, perché altrimenti tutti i termini della progressione sarebbero uguali. La progressione si può allora scrivere:
La somma dei primi n termini di una progressione aritmetica è data dalla formula:
Dimostrazione
Per dimostrare la formula in questione conviene prima trovare la
somma dei primi p numeri naturali:
1+2+…+(p-1)+p. La somma diventa facile se si associano i
termini equidistanti dagli estremi: (1+p)+(2+p-1)+…, in
questo modo si ottiene una somma di addendi tutti uguali che
valgono (p+1). Se p è pari si hanno p/2 addendi, per cui
la somma in questione vale 
. Se p è
dispari si hanno (p-1)/2 addendi del tipo citato, mentre il
termine centrale rimane isolato. Il termine centrale
è, ovviamente, la semisomma dei due estremi: 
. Per la somma si ottiene allora: 
esattamente come prima.
Si ha ora:
associando i termini con a1, raccogliendo d e ricordando la somma dei numeri da 1 a (n-1) che abbiamo ricavato sopra, si trova:
Puoi leggere un interessante aneddoto relativo alla somma dei primi p numeri naturali.