Funzioni periodiche
Definizione
Sia data una funzione reale di variabile reale, x
f(x). Se esiste un numero
reale p strettamente positivo, tale che, per ogni x del dominio,
x±p sta
ancora nel dominio e che f(x+p) = f(x), allora p si dice un periodo per f.
Osservazioni
Si noti che, essendo f(x+2p) = f(x+p+p) = f(x+p) = f(x), se T è un periodo, anche 2p (e di conseguenza np, per ogni n naturale non nullo) è un periodo. Da ciò si può dedurre che il dominio della funzione non può essere limitato.
Si noti poi che, essendo f(x) = f((x-p)+p) = f(x-p), la definizione si può scrivere anche f(x±p) = f(x).
Geometricamente la definizione data implica che il grafico di una funzione periodica si può tracciare per ripetizione del grafico ottenuto restringendo il dominio ad un qualunque intervallo di ampiezza p. Il grafico qui sotto può rendere bene l'idea.
Esempi
- f(x) = k (funzione costante). Ogni numero reale positivo è, banalmente, un periodo per questa funzione.
- f(x) = sin(x). I numeri 2kπ, con k intero >0, sono periodi per la funzione.
- f(x) = sin(πx). I numeri naturali positivi pari sono periodi per la funzione.
- f(x) = sinx·cosx. I numeri kπ, con k intero >0, sono periodi per la funzione.
. Tutti i numeri
razionali strettamente positivi sono periodi per la funzione. Basta, per provarlo, osservare che la
somma di due razionali è ancora un razionale, mentre la somma di un razionale con un irrazionale è
ancora un irrazionale.- f(x) = x - [x] ([x] è la funzione "parte intera", definita ponendo
[x] uguale al più grande intero non superiore ad x; questa funzione è nota anche,
soprattutto nei linguaggi di programmazione, con il nome di floor(x)). Questa funzione ha
come periodi tutti i numeri naturali strettamente positivi. Il suo grafico è rappresentato qui
sotto.
Come si vede dagli esempi, e come del resto si deduce dalla definizione, una funzione in
generale ha infiniti periodi. Possiamo considerare l'insieme di tutti i periodi di una funzione
f, cioè: 
. Può
succedere che l'insieme A abbia un minimo oppure no. Negli esempi precedenti il minimo esiste
per le funzioni numero 2 (minimo 2π), 3 (minimo 2), 4 (minimo π), 6 (minimo 1), mentre non
esiste per gli esempi 1 e 5, dove invece l'insieme A ha zero come estremo inferiore. Si dà
allora la seguente definizione:
Definizione
Sia data una funzione reale di variabile reale, xf(x) e si consideri
l'insieme . Il
minimo di A, diciamolo T, se esiste, si chiama minimo
periodo o, semplicemente, periodo della funzione
f e la funzione stessa si dice periodica di periodo
T. Se il minimo di A non esiste la funzione non si dice periodica.
Le più importanti funzioni periodiche che si considerano in matematica sono le funzioni trigonometriche che hanno i seguenti periodi:
- sinx, cosx, secx, cosecx: 2π
- tanx, cotanx: π
La ricerca del periodo per le funzioni elementari
E' molto importante nelle applicazioni saper riconoscere le funzioni periodiche da quelle non periodiche ed eventualmente determinare il periodo. Purtroppo la cosa non è semplice e si trovano, anche su testi famosi o su siti web, molti strafalcioni.
Per le applicazioni più comuni ci si può limitare a considerare le funzioni trigonometriche e quelle ottenute da esse mediante somme, prodotti, quozienti o composizioni. Anche con questa limitazione comunque la verifica della periodicità e la ricerca dell'eventuale periodo non sono semplici.
Per renderci conto della difficoltà del problema, è opportuno considerare alcuni esempi.
Le
funzioni f(x) = sinx e g(x) = 1-sinx sono entrambe periodiche di periodo 2π. La
loro somma è però la funzione costante h(x) = 1 che, come osservato più sopra, non ha un
minimo periodo e quindi non viene considerata periodica. Un esempio simile si può costruire con le
funzioni f(x) = (sinx)2 e g(x) = (cosx)2, la cui somma è 1.
Le
due funzioni f(x) = sinx e g(x) = sin(2x) - sinx sono entrambe periodiche di periodo
2π. La loro somma é la funzione h(x) = sin(2x) che è invece periodica di periodo
π.
Le
due funzioni f(x) = sinx e g(x) = sin(πx) hanno periodo, rispettivamente, 2π e
2. La loro somma non è nemmeno una funzione periodica. Discorso analogo vale per il prodotto o il
quoziente di queste due funzioni.
Le
due funzioni f(x) = sinx e g(x) = cosx sono entrambe periodiche di periodo 2π. Il
loro quoziente è invece la funzione h(x) = tanx che è periodica di periodo π.
Discorso analogo sarebbe vero per il prodotto.
Le
due funzioni f(x) = sinx e g(x) = 1 + cosx sono entrambe periodiche di periodo 2π.
Il loro quoziente è la funzione h(x) = sinx/(1+cosx) che è ancora periodica di periodo
2π.
La
funzione f(x) = sinx è periodica di periodo 2π. Il suo valore assoluto,
g(x) =
|sinx|, è periodica di periodo π.
La
funzione f(x) = sinx + 2 è periodica di periodo 2π. Il suo valore assoluto,
g(x) =
|sinx+2|, è ancora periodica di periodo 2π.
In generale non si possono stabilire regole per determinare il periodo delle funzioni, e purtroppo nemmeno regole per dedurre il periodo di funzioni ottenute mediante somme, prodotti o composizioni da altre funzioni periodiche. Ci si può solo attenere alle indicazioni che seguono.
- Se una funzione xf(x) è periodica di periodo T, allora la funzione
xf(kx), con
k reale
diverso da zero, è periodica di periodo T/|k|.
- Se si hanno due funzioni periodiche con diverso periodo T1 e T2, e se esistono multipli interi comuni dei due periodi, allora le funzioni somma, prodotto, quoziente, hanno periodo uguale al minimo comune multiplo dei periodi.
- Se si hanno due funzioni periodiche con lo stesso periodo T, allora le funzioni somma, prodotto, quoziente, hanno periodo minore o uguale al periodo comune T.
Le funzioni periodiche giocano un ruolo fondamentale in tutte le applicazioni: basta pensare che la nostra vita è regolata da fenomeni sostanzialmente periodici come il battito del cuore (quando ci sono sbalzi nella durata del periodo ci si comincia a preoccupare!), l'alternarsi del dì e della notte, l'alternarsi delle stagioni, ecc.
Tra le funzioni periodiche giocano un ruolo essenziale, come già detto, quelle trigonometriche. Questa osservazione è molto più profonda di quanto non possa sembrare a prima vista: in sostanza le funzioni seno e coseno sono i modelli di base di tutte le funzioni periodiche, purché non troppo patologiche. Questo fatto è contenuto nell'importantissimo teorema di sviluppabilità di una funzione in serie di Fourier, di cui riportiamo qui solo l'enunciato in forma schematica.
Data una funzione sufficientemente regolare e periodica di periodo 2π, vale, con qualche
limitazione, la seguente uguaglianza: 
. Questo vuol dire che tutte le funzioni periodiche possono essere
pensate, entro certi limiti, come combinazioni delle funzioni seno e coseno. Tra le applicazioni
più famose di questo teorema citiamo la scomposizione di un suono nei suoi armonici, scomposizione
che sta alla base dell'acustica musicale.