La derivata della funzione inversa
Per ricavare, per via grafica, la regola di derivazione della funzione inversa, proponiamo due diverse soluzioni:
- La prima basata sulle proprietà di simmetria di una funzione e della sua inversa rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante.
- La seconda basata sulla tecnica di costruzione grafica della composta di due funzioni e sulla conseguente regola di derivazione della funzione composta.
Prima dimostrazione, basata sulle proprietà di simmetria di una funzione e della sua inversa rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante.
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| uno | due | tre | quattro | cinque | conclusione |
Seconda dimostrazione, basata sulla costruzione grafica della composta di due funzioni e sulla regola di derivazione della funzione composta.
Poiché le due funzioni considerate nel grafico sono una l'inversa dell'altra, la funzione composta delle due ha sempre come grafico una parte della bisettrice y=x.
Riconsiderando la dimostrazione della formula di
derivazione della funzione composta si trova subito che,
in relazione alla figura qui accanto, 
. Poiché 
, in questo
caso, vale 1, se ne deduce subito che 
.
Se teniamo conto che 
è la
derivata della funzione inversa nel punto a,
mentre 
è la derivata della
funzione f nel punto 
,
si ottiene subito la formula cercata:
